東京工業大学 2010年度後期・理系数学第1問解答・解説

問題

$a, b, t$ は実数で， $a ≧ 0 > b$ とする。次の漸化式により，数列 $a_{n}, b_{n} (n = 1, 2, \dots)$ を定める。

a_{1} = a, b_{1} = b

a_{n + 1} b_{n + 1} = (\frac{t}{2} + \frac{5}{t ^{2} + 1}) a_{n} + (\frac{t}{2} - \frac{5}{t ^{2} + 1}) b_{n}, = (\frac{t}{2} - \frac{5}{t ^{2} + 1}) a_{n} + (\frac{t}{2} + \frac{5}{t ^{2} + 1}) b_{n} .

(1) $a_{n}$ を $a, b, t, n$ を用いて表せ。

(2) $n \to \infty$ とするとき， $a_{n}$ が収束するための $a, b, t$ についての必要十分条件を求めよ。

出典：東京工業大学 2010年度後期日程後期・理系第1問

方針

対称な漸化式なので，和 $s_{n} = a_{n} + b_{n}$ と差 $d_{n} = a_{n} - b_{n}$ に分ける。どちらも等比数列になり， $a_{n} = \frac{s _{n} + d _{n}}{2}$ から一般項が出る。収束条件は二つの等比成分の公比 $t$ と $\frac{10}{t ^{2} + 1}$ を別々に調べる。ただし $t = 2$ では2つの公比が一致して係数が合体するため，例外 $a = 0$ を別に扱う。

解答

(1)

s_{n} = a_{n} + b_{n}, d_{n} = a_{n} - b_{n}

とおく。漸化式の和と差をとると，

s_{n + 1} = t s_{n}, d_{n + 1} = \frac{10}{t ^{2} + 1} d_{n}

である。初項は $s_{1} = a + b, d_{1} = a - b$ なので，

s_{n} = (a + b) t^{n - 1}, d_{n} = (a - b) (\frac{10}{t ^{2} + 1})^{n - 1}

である。したがって

a_{n} = \frac{1}{2} {(a + b) t^{n - 1} + (a - b) (\frac{10}{t ^{2} + 1})^{n - 1}}

である。

(2)

一般項は，公比が異なる2つの等比成分の和である。ただし $t = 2$ のときは $t = \frac{10}{t ^{2} + 1}$ となり，2つの公比が一致する。

まず $t = 2$ の場合，(1)の式は $a_{n} = a \cdot 2^{n - 1}$ となる。したがって収束するための必要十分条件は $a = 0$ である。

次に $t \neq = 2$ とする。 $a ≧ 0 > b$ より $a - b > 0$ であるから，第2成分 $(a - b) (\frac{10}{t ^{2} + 1})^{n - 1}$ が収束するためには $\frac{10}{t ^{2} + 1} ≦ 1$ ，すなわち $∣ t ∣ ≧ 3$ が必要十分である。このとき $∣ t ∣ > 1$ なので，第1成分 $(a + b) t^{n - 1}$ が収束するためには係数が $0$ ，すなわち $a + b = 0$ でなければならない。逆に $∣ t ∣ ≧ 3$ かつ $a + b = 0$ なら，第1成分は常に $0$ であり，第2成分は $∣ t ∣ > 3$ なら $0$ に， $∣ t ∣ = 3$ なら一定値に収束する。

なお $t = - 2$ のときは2つの公比が $- 2$ と $2$ であり，偶奇で大きく振動する成分を消せないので収束しない。

以上より，必要十分条件は

{a = 0, t = 2, b < 0, a + b = 0, ∣ t ∣ ≧ 3, a ≧ 0 > b

である。

東京工業大学 2010年度後期・理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 2010年度
後期・理系数学第1問