東京工業大学 2009年度
後期・理系数学 第2問

解答

双曲線 $y=-\frac{1}{x}$ 上の点 $(s,-\frac{1}{s})$ における接線は$y=\frac{x}{s^2}-\frac{2}{s}$である。点 $P(p,q)$ がこの接線上にある条件は$q=\frac{p}{s^2}-\frac{2}{s}$すなわち$q{s}^2+2s-p=0$である。この2根を $u,v$ とすると，$u+v=-\frac{2}{q}$，$uv=-\frac{p}{q}$ である。

接点を $A=(u,-\frac{1}{u})$，$B=(v,-\frac{1}{v})$ とする。2本の接線の交点は$P\left(\frac{2uv}{u+v},-\frac{2}{u+v}\right)$である。したがって座標の面積公式より$[PAB]=\frac{|u-v{|}^3}{2|uv(u+v)|}$である。

また

であるから，

であり，さらに $|uv(u+v)|=\frac{t}{4}|u+v{|}^3$ である。よって$[PAB]=\frac{2(1+t{)}^{3/2}}{t}(t>0)$となる。

この面積を $A(t)$ とおくと，$A^{\prime }(t)=\frac{(1+t{)}^{1/2}(t-2)}{t^2}$である。したがって $0<t<2$ で減少し，$t>2$ で増加するので，最小は $t=2$ のときである。最小値は$A(2)=3\sqrt{3}$である。