問題
が与えられた実数のとき， 空間の点 から出た光が球 でさえぎられてできる 平面上の影を とする。点 が に含まれる条件を求めよ。
出典：東京工業大学 2009年度 後期日程 後期・理系 第1問
方針
点 が影に入ることは，線分 が球と交わることと同値である。線分上の点を とおいて球の不等式に代入し， についての二次方程式が実数解をもつ条件を判別式で求める。交点の 座標は球上では なので，直線が球と交わればその交点は と 平面の間にある。
解答
とおく。線分 上の点は
と表せる。球は の範囲にあるので，直線 が球と交われば，その交点は線分 上にある。
球面との交点を調べるため，球の方程式に代入して整理すると
である。影に入る条件はこの二次方程式が実数解をもつことであるから，判別式を用いて順に整理すれば
となる。したがって求める影は，最後の不等式で表される楕円の内部および周である。