東京工業大学 2008年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

自然数 $n$ に対して $I_{n} = \int_{0}^{1} x^{2} ∣ sin nπ x ∣ d x$ とおく。極限値 $lim_{n \to \infty} I_{n}$ を求めよ。

出典：東京工業大学 2008年度後期後期・理系後期第2問

区間 $[0, 1]$ を長さ $1/ n$ の小区間に分け，各区間で $u = n x - k$ と置換する。 $∣ sin nπ x ∣$ は各小区間で $sin π u$ になり， $(k + u)^{2}$ のうち主要項 $k^{2}$ だけが極限に残ることを示す。

区間 $[k / n, (k + 1) / n] (k = 0, 1, \dots, n - 1)$ で $u = n x - k$ とおくと， $d x = d u / n$ であり， $∣ sin nπ x ∣ = sin π u$ である。したがって

I_{n} = \frac{1}{n ^{3}} k = 0 \sum n - 1 \int_{0}^{1} (k + u)^{2} sin π u d u

である。

ここで $\int_{0}^{1} sin π u d u = 2/ π$ である。また

0 ≦ \frac{1}{n ^{3}} k = 0 \sum n - 1 \int_{0}^{1} (2 k u + u^{2}) sin π u d u ≦ \frac{1}{n ^{3}} k = 0 \sum n - 1 (2 k + 1) \to 0

である。よって極限に寄与するのは $k^{2}$ の項だけであり，

n \to \infty lim I_{n} = \frac{2}{π} n \to \infty lim \frac{1}{n ^{3}} k = 0 \sum n - 1 k^{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3 π}

である。