東京工業大学 2008年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

次の問いに答えよ。

(1) 実数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $y_{1}$ ， $y_{2}$ が $0 < a_{1} ≦ a_{2}$ ， $a_{1} x_{1} ≦ a_{1} y_{1}$ ， $a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} ≦ a_{1} y_{1} + a_{2} y_{2}$ をみたしているとする。このとき $x_{1} + x_{2} ≦ y_{1} + y_{2}$ であることを証明せよ。

(2) $n$ を2以上の整数とし， $3 n$ 個の実数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$ が $0 < a_{1} ≦ a_{2} ≦ \dots ≦ a_{n}$ および $n$ 個の不等式 $\sum_{i = 1}^{j} a_{i} x_{i} ≦ \sum_{i = 1}^{j} a_{i} y_{i} (j = 1, 2, \dots, n)$ をみたしているならば， $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} ≦ \sum_{i = 1}^{n} y_{i}$ であることを証明せよ。

出典：東京工業大学 2008年度後期後期・理系後期第1問

方針

(1)は差 $d_{i} = x_{i} - y_{i}$ に直して直接示す。(2)は $D_{j} = \sum_{i = 1}^{j} a_{i} (x_{i} - y_{i})$ とおき， $x_{j} - y_{j} = (D_{j} - D_{j - 1}) / a_{j}$ を用いて全体の和を部分和 $D_{j}$ の一次結合として表す。係数の符号と $D_{j} ≦ 0$ から結論を出す。

解答

(1)

$d_{i} = x_{i} - y_{i}$ とおく。仮定より $d_{1} ≦ 0$ であり， $a_{1} d_{1} + a_{2} d_{2} ≦ 0$ である。したがって $d_{2} ≦ - (a_{1} / a_{2}) d_{1}$ である。ここで $0 < a_{1} ≦ a_{2}$ かつ $d_{1} ≦ 0$ だから

d_{1} + d_{2} ≦ d_{1} - \frac{a _{1}}{a _{2}} d_{1} = (1 - \frac{a _{1}}{a _{2}}) d_{1} ≦ 0

である。よって $x_{1} + x_{2} ≦ y_{1} + y_{2}$ である。

(2)

$D_{0} = 0$ ， $D_{j} = \sum_{i = 1}^{j} a_{i} (x_{i} - y_{i}) (j = 1, 2, \dots, n)$ とおく。仮定よりすべての $j$ について $D_{j} ≦ 0$ である。また $x_{j} - y_{j} = (D_{j} - D_{j - 1}) / a_{j}$ であるから

j = 1 \sum n (x_{j} - y_{j}) = j = 1 \sum n \frac{D _{j} - D _{j - 1}}{a _{j}} = j = 1 \sum n - 1 D_{j} (\frac{1}{a _{j}} - \frac{1}{a _{j + 1}}) + \frac{D _{n}}{a _{n}}

である。 $0 < a_{1} ≦ a_{2} ≦ \dots ≦ a_{n}$ より $1/ a_{j} - 1/ a_{j + 1} ≧ 0$ である。各 $D_{j} ≦ 0$ だから右辺は $0$ 以下である。したがって $\sum_{j = 1}^{n} x_{j} ≦ \sum_{j = 1}^{n} y_{j}$ である。

東京工業大学 2008年度後期・理系数学 後期第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 2008年度
後期・理系数学後期第1問