東京工業大学 2007年度後期・理系数学第2問解答・解説

問題

$0 < x < \frac{π}{2}$ に対して関数 $f (x) = \frac{x}{t a n x}$ ， $g (x) = \frac{x}{t a n x} + \frac{t a n x}{x}$ を考える。

(1) $f^{'} (x)$ ， $f^{''} (x)$ の正負を判定し， $y = f (x)$ のグラフをかけ。

(2) $g^{'} (x)$ ， $g^{''} (x)$ の正負を判定し， $y = g (x)$ のグラフをかけ。

(3) 正定数 $a$ に対して，2曲線 $y = lo g \frac{a}{f ( x )}$ と $y = g (x)$ のグラフが交わるための条件を求めよ。

出典：東京工業大学 2007年度後期日程後期・理系第2問

方針

まず $f = x cot x$ の1階・2階微分を計算し， $sin x cos x < x$ と $sin x > x cos x$ から符号を決める。次に $g = f + \frac{1}{f}$ と見て， $0 < f < 1$ を使って $g^{'}$ ， $g^{''}$ の符号を判定する。(3)は交点条件を $lo g a = lo g t + t + \frac{1}{t} (t = f (x))$ に直し， $0 < t < 1$ における右辺の最小値を求める。

解答

(1)

$f (x) = x cot x$ であるから

f^{'} (x) = \frac{sin x cos x - x}{sin ^{2} x}, f^{''} (x) = \frac{2 ( x cos x - sin x )}{sin ^{3} x}

である。 $0 < x < \frac{π}{2}$ では $(sin x cos x)^{'} = cos 2 x < 1$ かつ $sin 0 cos 0 = 0$ なので $sin x cos x < x$ である。また $(sin x - x cos x)^{'} = x sin x > 0$ なので $sin x > x cos x$ である。よって $f^{'} (x) < 0, f^{''} (x) < 0$ である。さらに $x \to + 0$ のとき $f (x) \to 1$ ， $x \to \frac{π}{2} - 0$ のとき $f (x) \to 0$ である。したがって $y = f (x)$ は $(0, \frac{π}{2})$ で単調減少し，上に凸の曲線で，左端で $1$ に近づき右端で $0$ に近づく。

(2)

$g (x) = f (x) + \frac{1}{f ( x )}$ であり，(1)より $0 < f (x) < 1$ である。したがって $g^{'} (x) = f^{'} (x) (1 - \frac{1}{f ( x ) ^{2}})$ であり， $f^{'} (x) < 0$ ， $1 - \frac{1}{f ( x ) ^{2}} < 0$ より $g^{'} (x) > 0$ である。また

g^{''} (x) = f^{''} (x) (1 - \frac{1}{f ( x ) ^{2}}) + \frac{2 f ^{'} ( x ) ^{2}}{f ( x ) ^{3}}

であるから，右辺の各項は正であり $g^{''} (x) > 0$ である。

$x \to + 0$ のとき $g (x) \to 2$ ， $x \to \frac{π}{2} - 0$ のとき $g (x) \to \infty$ である。したがって $y = g (x)$ は $(0, \frac{π}{2})$ で単調増加し，下に凸の曲線で，左端で $2$ に近づき右端で限りなく大きくなる。

(3)

交点があることは $lo g \frac{a}{f ( x )} = f (x) + \frac{1}{f ( x )}$ を満たす $x$ があることと同値である。 $t = f (x)$ とおくと，(1)より $t$ は $0 < t < 1$ の値をすべて一度ずつとる。したがって $lo g a = lo g t + t + \frac{1}{t} (0 < t < 1)$ を満たす $t$ がある条件を求めればよい。

$H (t) = lo g t + t + \frac{1}{t}$ とおくと

H^{'} (t) = \frac{1}{t} + 1 - \frac{1}{t ^{2}} = \frac{t ^{2} + t - 1}{t ^{2}}

である。よって $H (t)$ は $t = \frac{5 - 1}{2}$ で最小となる。この値を $ρ$ とおくと， $\frac{1}{ρ} = 1 + ρ$ であるから

H (ρ) = lo g ρ + ρ + \frac{1}{ρ} = lo g ρ + 5

である。ゆえに交わるための条件は $lo g a ≧ 5 + lo g \frac{5 - 1}{2}$ すなわち $a ≧ \frac{5 - 1}{2} e^{5}$ である。

東京工業大学 2007年度後期・理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京工業大学 2007年度
後期・理系数学第2問