問題
1から6までの目がそれぞれ の確率で出るサイコロを3回振って出た目を順に ，， とし，次の3次方程式を考える。
(1) この方程式が相異なる3個の実数解をもつ確率を求めよ。
(2) この方程式が自然数の解をもつ確率を求めよ。
出典：東京工業大学 2007年度 後期日程 後期・理系 第1問
方針
(1)は の極大値と極小値の符号で3実根の条件を作り， をサイコロの値で数える。(2)は自然数解 の候補を に絞り， の偶奇別に を数える。
解答
(1)
とおく。関数 についてであるから，極値をとる点は である。相異なる3個の実数解をもつための条件は，極大値が正で極小値が負であることであり，これはと同値である。よってであればよい。
この条件は であり， の値にはよらない。 について条件を満たす の個数は順に である。したがって は14通り， は6通りある。求める確率はである。
(2)
自然数解を とする。 ならばであり， の絶対値は6以下なので解にならない。よって だけを調べればよい。
のときである。 が偶数なら となり， の5通りである。 が奇数のときは条件を満たさない。
のときである。 が偶数なら の2通り， が奇数なら の3通りである。これらは の場合と重ならない。
偶数の は3通り，奇数の も3通りであるから，有利な出方は 通りである。求める確率はである。