問題
自然数 ，， が を満たし， が を割り切るような自然数 は に限るとする。
(1) は と で割り切れることを示せ。
(2) の素因数は と 以外にないことを示せ。
(3) を求めよ。
出典：東京工業大学 2006年度 後期 後期・理系 第2問
方針
(1)は から が の倍数， から が の倍数であることを使う。(2)は 以外の素数 が を割ると， が立方数， が平方数であることから， における の指数が と の両方の倍数になり， が を割ると示す。(3)は とおき， の範囲で指数条件を解く。
解答
(1)
より は で割り切れる。したがって は で割り切れ， は で割り切れる。ゆえに は で割り切れ， は で割り切れる。特に は で割り切れる。
また より は で割り切れる。したがって は で割り切れ， は で割り切れる。ゆえに は で割り切れ， は で割り切れる。
(2)
を 以外の素数とし， が を割ると仮定する。 の素因数分解における の指数を とする。 なので， が立方数であることから は の倍数である。また なので， が平方数であることから は の倍数である。よって は の倍数であり，特に である。
すると は を割り切るので， とすれば かつ が を割り切る。これは仮定に反する。したがって の素因数は と 以外にない。
(3)
(1)，(2)より とおけ， である。また仮定より も も を割り切らないので， である。
が立方数であるから， と は の倍数である。また が平方数であるから， と は の倍数である。 でこれらを満たすのは だけである。したがって である。実際，， であり，指数は 未満なので条件を満たす。