東京工業大学 2006年度後期・理系数学第1問解答・解説

問題

$a$ ， $b$ を正の数とする。 $x y$ 座標平面において，楕円 $a x^{2} + b y^{2} = 1$ の第4象限 $(x ≧ 0, y ≦ 0)$ に含まれる部分を $C$ ，傾き $t ≧ 0$ の半直線 $y = t x (x ≧ 0)$ を $l_{t}$ とする。

$l_{t}$ 上の点 $P$ と $C$ 上の点 $P^{'}$ を結ぶ線分 $P P^{'}$ が $y$ 軸に平行になるように動くとき，線分 $P P^{'}$ の長さを最大にする $P$ を $P_{t}$ で表し， $t ≧ 0$ が変化するときに $P_{t}$ が描く曲線を $C^{'}$ とする。また，楕円 $a x^{2} + b y^{2} = 1$ と $C^{'}$ との交点を $Q (α, β)$ とする。

(1) 曲線 $C^{'}$ の方程式 $y = f (x)$ を求めよ。

(2) $α$ と $β$ を求めよ。

(3) 直線 $y = β$ ，曲線 $C^{'}$ および $y$ 軸が囲む領域を $D$ とする。 $D$ を $y$ 軸の回りに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求めよ。

出典：東京工業大学 2006年度後期後期・理系第1問

方針

固定した $t$ に対し，縦に対応する点を $P = (x, t x)$ ， $P^{'} = (x, - (1 - a x^{2}) / b)$ と表す。線分の長さを $x$ の関数として微分し，最大点の一意性を確認してから $t$ を消去して $C^{'}$ の方程式を得る。交点は $u = a x^{2}$ と置くと簡単に求まる。体積は $y$ 軸まわりなので，縦の円筒殻を用いて $2 π \int x (β - f (x)) d x$ を計算する。

解答

(1)

固定した $t ≧ 0$ について， $P = (x, t x)$ とおく。対応する $C$ 上の点は $P^{'} = (x, - (1 - a x^{2}) / b)$ であり， $0 ≦ x ≦ 1/ a$ である。線分 $P P^{'}$ の長さは $L (x) = t x + \frac{1 - a x ^{2}}{b}$ である。 $0 < x < 1/ a$ で $L^{'} (x) = t - \frac{a x}{b 1 - a x ^{2}}$ であり，右辺第2項は $x$ とともに $0$ から無限大まで増加する。したがって $t > 0$ なら最大点は内点にただ1つあり， $t = 0$ なら最大点は端点 $x = 0$ である。内点の最大点では $t = \frac{a x}{b 1 - a x ^{2}}$ である。 $P_{t} = (x, y)$ では $y = t x$ なので，この式は $t = 0$ の端点も含めて $y = \frac{a x ^{2}}{b 1 - a x ^{2}}$ と表せる。したがって

C^{'} : y = f (x) = \frac{a x ^{2}}{b 1 - a x ^{2}} (0 ≦ x < \frac{1}{a})

である。

(2)

交点では $y = f (x)$ かつ $a x^{2} + b y^{2} = 1$ である。 $u = a x^{2}$ とおくと $u + \frac{u ^{2}}{1 - u} = 1$ となり， $u = 1/2$ を得る。よって

α = \frac{1}{2 a}, β = f (α) = \frac{1}{2 b}

である。

(3)

領域 $D$ は $0 ≦ x ≦ α$ において $f (x) ≦ y ≦ β$ で表される。幅の小さい縦長の長方形を $y$ 軸の回りに回すと，半径 $x$ ，高さ $β - f (x)$ の薄い円筒殻になるので，体積は $V = 2 π \int_{0}^{α} x {β - f (x)} d x$ である。ここで $α = 1/ 2 a$ ， $β = 1/ 2 b$ だから

V = \frac{2 π}{b} {\frac{1}{2} \int_{0}^{α} x d x - a \int_{0}^{α} \frac{x ^{3}}{1 - a x ^{2}} d x}

である。

第1項は $\frac{1}{2} \int_{0}^{α} x d x = \frac{1}{4 a 2}$ である。第2項は $u = 1 - a x^{2}$ とおくと

a \int_{0}^{α} \frac{x ^{3}}{1 - a x ^{2}} d x = \frac{1}{2 a} \int_{1/2}^{1} (1 - u) u^{- 1/2} d u = \frac{4 - \frac{5}{2}}{6 a}

である。したがって

V = \frac{2 π}{b} \cdot \frac{13 - 8 2}{12 a 2} = \frac{π ( 13 - 8 2 )}{6 a 2 b}

である。

東京工業大学 2006年度後期・理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京工業大学 2006年度
後期・理系数学第1問