問題
を半径 の円とし，その周上に長さ の円弧 をおく。 と で接し の内部にある円を ， と で接し， にも接する円を とする。
(1) と の面積の和の最小値 を で表せ。
(2) が から まで動くとき， の最大値を求めよ。
出典：東京工業大学 2005年度 後期 後期・理系 第2問
方針
円 の中心を とし，円 の半径をそれぞれ とおく。内接条件から中心は 上にあり，接する条件を余弦定理で式にする。得られる関係を ，， で整理し， と を使って最小値を出す。最大値は で単調に調べる。
解答
(1)
円 の中心を ，円 の中心をそれぞれ ，半径をそれぞれ とする。 に内接しているので ， である。弧長が であるから，2つの半径方向のなす角の余弦は で表される。円 は外側で接するから である。
余弦定理よりである。 とおくと，これはと整理できる。
， とおく。 であり，上の式は である。また だから， のときとなる。これは と同値である。さらにだからである。等号は のとき成立する。 のときも接触条件は となり，同じく で等号が成立する。
2つの円の面積の和は であるから，面積の和の最小値はである。端点 では接点が一致して円が退化する極限として と解釈する。
(2)
では である。関数 は で増加するので， は ，すなわち のとき最大となる。したがって最大値はである。