東京工業大学 2005年度後期・理系数学第1問解答・解説

問題

数列 ${a_{m}}$ を $a_{m} = m$ とし， $b_{n} = m = 1 \sum n a_{m}$ とおく。

(1) $0 < r < 1$ とするとき， $n \to \infty lim n r^{n} = 0$ および $n \to \infty lim n^{2} r^{n} = 0$ となることを証明せよ。

(2) $S_{m} = a_{1} r + a_{2} r^{2} + \dots + a_{m} r^{m}$ ， $T_{n} = b_{1} r + b_{2} r^{2} + \dots + b_{n} r^{n}$ とおくとき， $m \to \infty lim S_{m}$ および $n \to \infty lim T_{n}$ を求めよ。

出典：東京工業大学 2005年度後期後期・理系第1問

方針

(1)は比を調べ，十分大きいところから一定比より小さくなることを用いて $n r^{n}$ ， $n^{2} r^{n}$ が $0$ に近づくことを示す。(2)は $S_{m} - r S_{m}$ を作って有限和の公式へ帰着する。 $T_{n}$ は $b_{k} = a_{1} + \dots + a_{k}$ を使い，有限和の順序を入れ替えて $S_{n}$ と余りの項で表す。

解答

(1)

$0 < r < 1$ であるから， $r < q < 1$ となる数 $q$ を1つ取る。十分大きい $n$ について $r (1 + 1/ n) < q$ が成り立つので， $\frac{( n + 1 ) r ^{n + 1}}{n r ^{n}} = r (1 + \frac{1}{n}) < q$ である。よってある番号以後の $n r^{n}$ は，前の項に $q$ 未満を掛けたもの以下になり， $q^{k}$ と同じように $0$ に近づく。したがって $lim_{n \to \infty} n r^{n} = 0$ である。

同様に，十分大きい $n$ について $r (1 + 1/ n)^{2} < q$ が成り立つので $\frac{( n + 1 ) ^{2} r ^{n + 1}}{n ^{2} r ^{n}} = r (1 + \frac{1}{n})^{2} < q$ となる。したがって $lim_{n \to \infty} n^{2} r^{n} = 0$ である。

(2)

$a_{m} = m$ であるから $S_{m} = r + 2 r^{2} + \dots + m r^{m}$ である。これに $r$ を掛けて引くと

(1 - r) S_{m} = r + r^{2} + \dots + r^{m} - m r^{m + 1} = \frac{r ( 1 - r ^{m} )}{1 - r} - m r^{m + 1}

である。(1)より $m r^{m + 1} \to 0$ だから

m \to \infty lim S_{m} = \frac{r}{( 1 - r ) ^{2}}

である。

次に $b_{k} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k}$ より

T_{n} = k = 1 \sum n b_{k} r^{k} = j = 1 \sum n j (r^{j} + r^{j + 1} + \dots + r^{n})

である。したがって

T_{n} = \frac{1}{1 - r} j = 1 \sum n j r^{j} - \frac{r ^{n + 1}}{1 - r} j = 1 \sum n j = \frac{S _{n}}{1 - r} - \frac{n ( n + 1 ) r ^{n + 1}}{2 ( 1 - r )}

である。(1)より $n (n + 1) r^{n + 1} \to 0$ であるから

n \to \infty lim T_{n} = \frac{1}{1 - r} \cdot \frac{r}{( 1 - r ) ^{2}} = \frac{r}{( 1 - r ) ^{3}}

である。

東京工業大学 2005年度後期・理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 2005年度
後期・理系数学第1問