問題
平面上に原点 を中心とする半径 の円 がある。 を底面， を頂点とする直円すい を考える。点 および をとる。さらに，動点 を線分 が 以外に と交わらないように動かす。
(1) のとりうる値の範囲を求めよ。
(2) 点 から動点 までは直円すい の側面上を通り， からは直線にそって点 へ向かう道を考える。このような から までの全ての道の長さの最小値を求めよ。
方針
(1)は線分 上の点を と表し，原点からの距離が 未満にならない条件を調べる。(2)は円すいの側面を展開する。母線の長さは ，展開図の中心角は なので，底面円の中心角 は展開図で に対応する。可動範囲を に直して，側面上の最短距離と平面上の直線距離の和を微分で最小化する。
解答
(1)
とし， 平面で考える。線分 上の点を とおく。 であるから，この点の原点からの距離の2乗は， で であり，その右微分は である。
距離の2乗は の二次関数で下に凸である。線分が 以外で円 と交わらないためには， から内側へ入らないこと，すなわち が必要十分である。よって であり， では である。
(2)
円すいの母線の長さは である。側面を展開すると，半径 ，弧の長さ の扇形になるので，その中心角は である。
と の底面円上での中心角の小さい方を とする。(1)の範囲では である。展開図ではこの角は になるから，側面上での から までの最短距離は である。また である。
したがって最小化すべき長さは である。微分すると である。
とおくと， である。， とおくと， の符号は の符号と同じである。この範囲では なので，その符号は の符号と同じである。 で表すと
であり， である。この範囲では なので， は で負， で正である。
よって最小は のときに生じる。このとき であり， から である。したがって である。求める最小値は である。