東京工業大学 2002年度
後期・理系数学 後期第1問

解答

(1)

$S_n={\sum }_{k=0}^n(-1{)}^k{x}^{2k}$ とおく。$(1+x^2)S_n=1+(-1{)}^n{x}^{2n+2}$ であるから，$S_n=\frac{1+(-1{)}^n{x}^{2n+2}}{1+x^2}$ である。したがって $S_n-\frac{1}{1+x^2}=\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+2}}{1+x^2}$ である。

(2)

(1)を $0$ から $1$ まで積分すると，${\sum }_{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{2k+1}-{\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}=(-1{)}^n{\int }_0^1\frac{x^{2n+2}}{1+x^2}dx$ である。よって$\left|{\sum }_{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{2k+1}-{\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}\right|\leqq {\int }_0^1{x}^{2n+2}dx=\frac{1}{2n+3}$となり，求める不等式が示された。

(3)

(2)より，$n\to \infty$ のとき ${\sum }_{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{2k+1}$ は ${\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}$ に近づく。ここで $x=\tan \theta$ とおくと，$0\leqq x\leqq 1$ は $0\leqq \theta \leqq \pi /4$ に対応し，$dx/(1+x^2)=d\theta$ である。したがって ${\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}={\int }_0^{\pi /4}d\theta =\frac{\pi }{4}$ である。よって求める極限は $\pi /4$ である。