東京工業大学 2001年度後期・理系数学第2問解答・解説

問題

$x y$ 平面の原点 $(0, 0)$ を中心とする半径 $a$ ， $b$ の同心円上にそれぞれ動点 $A$ ， $B$ がある。 $C = (1, 0)$ とすると $△ A B C$ の面積は， $A$ が $A_{0} = (a cos \frac{3 π}{4}, a sin \frac{3 π}{4})$ ， $B$ が $B_{0} = (b cos \frac{4 π}{3}, b sin \frac{4 π}{3})$ のときに最大値をとるという。

(1) $a$ ， $b$ を求めよ。

(2) $△ A_{0} B_{0} C$ の外接円の半径 $R$ を求めよ。

出典：東京工業大学 2001年度後期後期・理系第2問

方針

一方の点を固定すると，三角形の面積は他方の点から固定された直線までの距離に比例する。円上でこの距離が最大になるとき，半径はその直線に垂直である。したがって最大点では $O A_{0} ⊥ B_{0} C$ ， $O B_{0} ⊥ A_{0} C$ が成り立つ。これを内積で式にして $a, b$ を求め，最後に座標から辺と角を求めて外接円の半径を出す。

解答

(1)

一方の点を固定すると， $△ A B C$ の面積は他方の点から固定された直線までの距離に比例する。円上でこの距離が最大になるとき，中心からその点へ向かう半径はその直線に垂直である。したがって最大点では $O A_{0} ⊥ B_{0} C$ ， $O B_{0} ⊥ A_{0} C$ である。

$A_{0} = (- \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$ ， $B_{0} = (- \frac{b}{2}, - \frac{3 b}{2})$ である。 $O A_{0} ⊥ B_{0} C$ より

(- \frac{a}{2}, \frac{a}{2}) \cdot (1 + \frac{b}{2}, \frac{3 b}{2}) = 0

であるから， $- 1 - b /2 + 3 b /2 = 0$ となり， $b = 3 + 1$ を得る。

また $O B_{0} ⊥ A_{0} C$ より

(- \frac{b}{2}, - \frac{3 b}{2}) \cdot (1 + \frac{a}{2}, - \frac{a}{2}) = 0

であるから， $- 1 - a / 2 + 3 a / 2 = 0$ となり， $a = \frac{6 + 2}{2}$ を得る。

(2)

(1)の値を用いると $A_{0} = (- \frac{3 + 1}{2}, \frac{3 + 1}{2})$ ， $B_{0} = (- \frac{3 + 1}{2}, - \frac{3 + 3}{2})$ である。よって $A_{0} B_{0}$ は鉛直であり， $B_{0} C$ は傾き1の直線上にあるから， $∠ A_{0} B_{0} C = π /4$ である。また $A_{0} C = 3 + 1$ である。

拡張正弦定理より $2 R = \frac{A _{0} C}{s i n ( π /4 )}$ である。したがって $R = \frac{3 + 1}{2} = \frac{6 + 2}{2}$ である。

東京工業大学 2001年度後期・理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 2001年度
後期・理系数学第2問