東京工業大学 2001年度
後期・理系数学 第1問

解答

(1)

$\delta =11-\frac{7\pi }{2}$ とおく。$3.14159265<\pi <3.14159266$ であるから，$4965\pi >4965\cdot 3.14159265>15598$であり，また$4979\pi <4979\cdot 3.14159266<15642$である。

ここで $15598<4965\pi$ は $11<\left(\frac{7}{2}+\frac{1}{709}\right)\pi$ と同値であり，$4979\pi <15642$ は $\left(\frac{7}{2}+\frac{1}{711}\right)\pi <11$ と同値である。したがって$\frac{\pi }{711}<\delta <\frac{\pi }{709}$である。

(2)

$11=\frac{7\pi }{2}+\delta$ で，$0<\delta <\pi /2$ である。よって$a_1=\tan \left(\frac{7\pi }{2}+\delta \right)=\tan \left(\frac{\pi }{2}+\delta \right)<0$である。また $22=7\pi +2\delta$ で，$0<2\delta <\pi /2$ だから $a_2=\tan (2\delta )>0$ である。

(3)

奇数 $n$ について，$a_n=\tan \left(\frac{7n\pi }{2}+n\delta \right)=\tan \left(\frac{\pi }{2}+n\delta \right)=-\frac{\cos (n\delta )}{\sin (n\delta )}$ である。

(1)より，$n=1,3,\dots ,709$ では $0<n\delta <\pi$ である。$0<\alpha <\beta <\pi$ のとき

であるから，$-\cos \theta /\sin \theta$ は $0<\theta <\pi$ で増加する。したがって $a_1,a_3,\dots ,a_{709}$ は増加数列である。

(4)

(1)より $709\delta <\pi <711\delta$ である。また $709\delta >\pi /2$，$711\delta <3\pi /2$ も成り立つ。したがって $\pi /2<709\delta <\pi$ より $a_{709}>0$ であり，$\pi <711\delta <3\pi /2$ より $a_{711}<0$ である。よって $a_{709}>a_{711}$ となるので，無限数列 $a_1,a_3,a_5,\dots$ は増加数列ではない。