東京工業大学 2000年度後期・理系数学第2問解答・解説

問題

(1) $m ≧ 0$ ， $n ≧ 1$ である整数 $m$ ， $n$ に対し， $a_{m, n} = \int_{0}^{π} θ^{m} cos n θ d θ$ ， $b_{m, n} = \int_{0}^{π} θ^{m} sin n θ d θ$ とおくとき，次の式を示せ。

a_{m + 1, n} = - \frac{m + 1}{n} b_{m, n}, b_{m + 1, n} = (- 1)^{n + 1} \frac{π ^{m + 1}}{n} + \frac{m + 1}{n} a_{m, n}

(2) 半径 $1$ の球面上の定点を端点とする長さ $π$ のひもを考える。このひもが球の外側の空間を動くとき，ひもの通過しうる領域の体積を求めよ。

出典：東京工業大学 2000年度後期後期・理系第2問

方針

(1)はそれぞれ部分積分で境界項を計算する。(2)は定点と球の中心を通る平面で切る。断面で，定点から直接外側へ伸びる部分は半径 $π$ の半円を作り，球に巻きついてから離れる部分の境界は，接点の中心角を $t$ として $(x, y) = (cos t - (π - t) sin t, sin t + (π - t) cos t)$ と表される。この上側断面を $x$ 軸のまわりに回転して，半円部分，伸開線部分，球の除外分の体積を足し引きする。伸開線部分の積分は三角関数を展開して (1) 型の積分に帰着する。

解答

(1)

部分積分により

a_{m + 1, n} = \int_{0}^{π} θ^{m + 1} cos n θ d θ = [θ^{m + 1} \frac{sin n θ}{n}]_{0}^{π} - \frac{m + 1}{n} \int_{0}^{π} θ^{m} sin n θ d θ

である。境界項は $0$ であるから， $a_{m + 1, n} = - (m + 1) b_{m, n} / n$ を得る。

同様に

b_{m + 1, n} = \int_{0}^{π} θ^{m + 1} sin n θ d θ = [- θ^{m + 1} \frac{cos n θ}{n}]_{0}^{π} + \frac{m + 1}{n} \int_{0}^{π} θ^{m} cos n θ d θ

である。境界項は $- π^{m + 1} (- 1)^{n} / n = (- 1)^{n + 1} π^{m + 1} / n$ である。よって $b_{m + 1, n} = (- 1)^{n + 1} \frac{π ^{m + 1}}{n} + \frac{m + 1}{n} a_{m, n}$ である。

(2)

球の中心を $O$ ，ひもの固定端を $A$ とし， $O A$ を $x$ 軸に取る。 $O$ と $A$ を通る平面で切ると，球は単位円，固定端は $(1, 0)$ で表される。通過領域はこの断面を $x$ 軸のまわりに回転して得られる。

固定端から球に触れずにまっすぐ出る部分は， $(1, 0)$ を中心とする半径 $π$ の半円を与える。これを回転した体積は半球の体積なので $2 π^{4} /3$ である。

次に，ひもが球面に沿って中心角 $t$ だけ進んだ点で離れる場合を考える。接点は $(cos t, sin t)$ ，残りの長さは $π - t$ であり，離れる方向は接線方向 $(- sin t, cos t)$ である。したがって外側境界は $x = cos t - (π - t) sin t$ ， $y = sin t + (π - t) cos t$ $(0 ≦ t ≦ π)$ で表される。このとき $d x = - (π - t) cos t d t$ である。

伸開線で囲まれる上側断面は，まず伸開線と $x$ 軸で囲まれる部分を回転し，最後に単位球の体積を差し引けばよい。媒介変数表示された境界を $x$ 軸のまわりに回転する公式より，向きに注意するとこの寄与は

- π \int y^{2} d x

である。 $u = π - t$ とおくと，向きを $t$ の増加方向に取ったまま

- π \int y^{2} d x = - π \int_{0}^{π} u cos u (sin u - u cos u)^{2} d u

となる。ここで

\int_{0}^{π} u cos u (sin u - u cos u)^{2} d u = \int_{0}^{π} u cos u sin^{2} u d u - 2 \int_{0}^{π} u^{2} sin u cos^{2} u d u + \int_{0}^{π} u^{3} cos^{3} u d u

である。また

sin^{2} u cos u = \frac{cos u - cos 3 u}{4}, sin u cos^{2} u = \frac{sin u + sin 3 u}{4}, cos^{3} u = \frac{3 cos u + cos 3 u}{4}

であり，(1)より

a_{1, 1} = - 2, a_{1, 3} = - \frac{2}{9}, b_{2, 1} = π^{2} - 4, b_{2, 3} = \frac{π ^{2}}{3} - \frac{4}{27}, a_{3, 1} = - 3 π^{2} + 12, a_{3, 3} = - \frac{π ^{2}}{3} + \frac{4}{27}

を得る。したがって

\int_{0}^{π} u cos u (sin u - u cos u)^{2} d u = \frac{1}{4} (a_{1, 1} - a_{1, 3}) - \frac{1}{2} (b_{2, 1} + b_{2, 3}) + \frac{1}{4} (3 a_{3, 1} + a_{3, 3}) = \frac{32}{3} - 3 π^{2}

である。

最後に，球の内部は通過領域から除くので，球の体積 $4 π /3$ を引く。したがって求める体積は

\frac{2 π ^{4}}{3} - π (\frac{32}{3} - 3 π^{2}) - \frac{4 π}{3} = \frac{2 π ^{4}}{3} + 3 π^{3} - 12 π

である。

東京工業大学 2000年度後期・理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

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後期・理系数学第2問