東京工業大学 2000年度後期・理系数学第1問解答・解説

問題

実数 $a$ ， $b$ に対し $f (x) = x^{3} + x^{2} + (a + b - a^{2}) x + ab$ とおく。

(1) $f (x)$ を因数分解せよ。

(2) すべての $x ≧ 0$ に対し $f (x) ≧ 0$ が成り立つための $a$ ， $b$ の条件を求め，それを満たす点 $(a, b)$ の存在する範囲を図示せよ。

出典：東京工業大学 2000年度後期後期・理系第1問

方針

まず $x = - a$ が根であることから一次因子を見つける。(2)では $f (x) = (x + a) q (x)$ とし， $a ≧ 0$ なら $q (x) ≧ 0$ が必要十分， $a < 0$ なら $x = - a$ の前後で $x + a$ の符号が変わるので， $q (x)$ もそこで符号を変える必要がある。この違いを場合分けして $(a, b)$ の領域を求める。

解答

(1)

$f (- a) = 0$ であるから， $x + a$ を因数にもつ。実際に割ると $f (x) = (x + a) {x^{2} + (1 - a) x + b}$ である。

(2)

$q (x) = x^{2} + (1 - a) x + b$ とおく。まず $a ≧ 0$ のとき， $x ≧ 0$ では $x + a ≧ 0$ であるから，必要十分条件は $q (x) ≧ 0$ がすべての $x ≧ 0$ で成り立つことである。

$0 ≦ a ≦ 1$ では， $q (x)$ の軸は $x = (a - 1) /2 ≦ 0$ にあるので， $x ≧ 0$ での最小値は $q (0) = b$ である。よって $b ≧ 0$ が必要十分である。 $a > 1$ では，最小値は $x = (a - 1) /2$ でとられ，その値は $b - (a - 1)^{2} /4$ である。よって $b ≧ (a - 1)^{2} /4$ が必要十分である。

次に $a < 0$ とする。このとき $x + a$ は $0 ≦ x < - a$ で負， $x > - a$ で正である。したがって積 $(x + a) q (x)$ が常に $0$ 以上であるためには， $q (x)$ が $x = - a$ で符号を変えなければならない。よって $q (- a) = 0$ が必要である。これは $2 a^{2} - a + b = 0$ ，すなわち $b = a - 2 a^{2}$ である。このとき $q (x) = (x + a) (x + 1 - 2 a)$ であり， $a < 0$ なら $x + 1 - 2 a > 0$ が $x ≧ 0$ で成り立つ。よって $f (x) = (x + a)^{2} (x + 1 - 2 a) ≧ 0$ となり，この条件は十分でもある。

以上より求める条件は

⎩ ⎨ ⎧ a < 0, b = a - 2 a^{2}, 0 ≦ a ≦ 1, b ≧ 0, a > 1, b ≧ \frac{( a - 1 ) ^{2}}{4}

である。図示すれば， $a < 0$ では放物線 $b = a - 2 a^{2}$ 上， $0 ≦ a ≦ 1$ では $b = 0$ 以上の部分， $a > 1$ では放物線 $b = (a - 1)^{2} /4$ 以上の部分である。

東京工業大学 2000年度後期・理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 2000年度
後期・理系数学第1問