東京工業大学 1999年度後期・理系数学第2問解答・解説

問題

（図は省略する。図1は，半径 $1$ の円の内部に，外側の円に接し，かつ互いに隣り合って接する $6$ 個の合同円を等間隔に描いたものを表す。図2は，中央に残る同心円内に同じ配置で $6$ 個の小さい合同円を描いたものを表す。）

(1) 半径 $1$ の円に内接する $6$ 個の半径の等しい円を図1のように描く。さらに図2のように $6$ 個の小さな半径の等しい円を描く。この操作を無限にくり返したとき， $6$ 個ずつ次々に描かれる円の面積の総和 $S_{2}$ と，それらの円の円周の長さの総和 $C_{2}$ を求めよ。

(2) (1) で $6$ 個の円を次々に描いていった。一般に，自然数 $n ≧ 2$ に対して $3 n$ 個の円を用いて同様の操作を行うとき，描かれる円の面積の総和 $S_{n}$ と，それらの円の円周の長さの総和 $C_{n}$ を求めよ。

(3) 数列 $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ， $\dots$ の極限値を求めよ。

出典：東京工業大学 1999年度後期後期・理系第2問

方針

まず一般の $3 n$ 個の場合を考える。第1段の小円の半径を $r$ ，中心が乗る同心円の半径を $1 - r$ とし，隣り合う中心角 $2 π / (3 n)$ から接する条件を立てる。中央に残る同心円の半径が次段以降の縮小比になるので，面積和と円周和は等比数列の和で求まる。

解答

(1)(2)

一般の $3 n$ 個の場合を求め，最後に $n = 2$ を代入して (1) の答えも得る。第1段に描く $3 n$ 個の円の半径を $r$ とする。それらの中心は，もとの円の中心を中心とする半径 $1 - r$ の円周上に等間隔に並ぶ。隣り合う中心のなす角は $2 π / (3 n)$ であり，隣り合う小円が接するので $2 (1 - r) sin \frac{π}{3 n} = 2 r$ である。 $s = sin \frac{π}{3 n}$ とおくと $r = \frac{s}{1 + s}$ である。

第1段の $3 n$ 個の円に内側から接する同心円の半径は $1 - 2 r = \frac{1 - s}{1 + s}$ である。この中央の同心円内で同じ操作を繰り返すので，段が1つ進むごとに半径は $λ = \frac{1 - s}{1 + s}$ 倍される。

したがって

S_{n} = 3 nπ r^{2} (1 + λ^{2} + λ^{4} + \dots) = \frac{3 nπ r ^{2}}{1 - λ ^{2}}

である。ここで

1 - λ^{2} = \frac{( 1 + s ) ^{2} - ( 1 - s ) ^{2}}{( 1 + s ) ^{2}} = \frac{4 s}{( 1 + s ) ^{2}}

だから $S_{n} = \frac{3 nπ}{4} sin \frac{π}{3 n}$ である。また円周の総和は

C_{n} = 3 n \cdot 2 π r (1 + λ + λ^{2} + \dots) = \frac{6 nπ r}{1 - λ}

であり， $1 - λ = \frac{2 s}{1 + s}$ より $C_{n} = 3 nπ$ である。

したがって (2) の答えは $S_{n} = \frac{3 nπ}{4} sin \frac{π}{3 n}$ ， $C_{n} = 3 nπ$ である。特に (1) は $n = 2$ を代入して $S_{2} = \frac{3 π}{4}$ ， $C_{2} = 6 π$ である。

(3)

$S_{n} = \frac{3 nπ}{4} sin \frac{π}{3 n}$ であるから， $n \to \infty$ のとき $3 n sin {π / (3 n)} \to π$ である。したがって

n \to \infty lim S_{n} = \frac{π ^{2}}{4}

である。

東京工業大学 1999年度後期・理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)(2)

(3)

東京工業大学 1999年度
後期・理系数学第2問