東京工業大学 1999年度後期・理系数学第1問解答・解説

問題

極限値 $n \to \infty lim \int_{0}^{π /2} \frac{sin ^{2} n x}{1 + x} d x$ を求めよ。

出典：東京工業大学 1999年度後期後期・理系第1問

$sin^{2} n x = {1 - cos (2 n x)} /2$ を用いて，定数項と振動項に分ける。振動項は $f (x) = 1/ (1 + x)$ とおいて部分積分し，絶対値が $1/ n$ に比例する量で抑えられることを示して 0 に収束させる。

\int_{0}^{π /2} \frac{sin ^{2} n x}{1 + x} d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{π /2} \frac{d x}{1 + x} - \frac{1}{2} \int_{0}^{π /2} \frac{cos 2 n x}{1 + x} d x

である。

$f (x) = 1/ (1 + x)$ とおく。部分積分を用いると， $sin nπ = sin 0 = 0$ より

\int_{0}^{π /2} f (x) cos 2 n x d x = - \frac{1}{2 n} \int_{0}^{π /2} f^{'} (x) sin 2 n x d x

である。したがって

\int_{0}^{π /2} f (x) cos 2 n x d x ≦ \frac{1}{2 n} \int_{0}^{π /2} \frac{d x}{( 1 + x ) ^{2}} ≦ \frac{π}{4 n}

であるから，この項は $n \to \infty$ で $0$ に近づく。

よって求める極限値は

\frac{1}{2} \int_{0}^{π /2} \frac{d x}{1 + x} = \frac{1}{2} lo g (1 + \frac{π}{2})

である。