東京工業大学 1998年度後期・理系数学第2問解答・解説

問題

$y z$ 平面の直線 $y = z$ を $l_{1}$ ，直線 $y = z + 2$ を $l_{2}$ とする。 $x y z$ 空間において $l_{1}$ を軸にして $l_{2}$ を回転してできる円柱面(内部は含まない)を $C$ とする。さらに $z$ 軸を軸として $C$ を回転してできる回転体を $R$ とする。

(1) $x y$ 平面で $C$ を切った切り口に現れる楕円の方程式を求めよ。

(2) $R$ の $y z$ 平面による断面を図示せよ。

(3) $R$ の $- 2 ≦ z ≦ 2$ の部分の体積を求めよ。

出典：東京工業大学 1998年度後期後期・理系第2問

方針

直線 $l_{1}$ からの距離を表す座標 $(y - z) / 2$ を使うと，円柱面 $C$ は $x^{2} + (y - z)^{2} /2 = 1$ と書ける。(2)では高さ $z$ を固定し，平面 $z =$ 一定での楕円上の点の $z$ 軸からの距離 $ρ = x^{2} + y^{2}$ の最大値と最小値を求める。回転後の断面は $ρ_{m i n} (z) ≦ ∣ y ∣ ≦ ρ_{m a x} (z)$ で表され，体積は円環の面積を $z$ で積分して求める。

解答

(1)

$y z$ 平面で $(y - z) / 2$ は直線 $l_{1} : y = z$ からの符号付き距離を表す。直線 $l_{2} : y = z + 2$ は $l_{1}$ から距離 $1$ だけ離れているので， $l_{2}$ を $l_{1}$ のまわりに回転してできる円柱面は $x^{2} + \frac{( y - z ) ^{2}}{2} = 1$ である。 $x y$ 平面では $z = 0$ だから，求める楕円は $x^{2} + \frac{y ^{2}}{2} = 1$ である。

(2)

高さ $z$ を固定すると， $C$ と平面 $z =$ 一定との交線は $x^{2} + (y - z)^{2} /2 = 1$ である。 $y = z + 2 s$ ， $- 1 ≦ s ≦ 1$ とおくと， $x^{2} = 1 - s^{2}$ であり， $z$ 軸からの距離 $ρ$ は

ρ^{2} = x^{2} + y^{2} = z^{2} + 1 + s^{2} + 22 z s

を満たす。

これより最大値は端点でとり， $ρ_{m a x} = ∣ z ∣ + 2$ である。最小値は二次式の頂点を見て

ρ_{m i n} = {1 - z^{2} ∣ z ∣ - 2 (∣ z ∣ ≦ 1/ 2), (∣ z ∣ ≧ 1/ 2)

である。したがって $y z$ 平面での断面は，それぞれの $z$ に対して $ρ_{m i n} (z) ≦ ∣ y ∣ ≦ ∣ z ∣ + 2$ を満たす点全体である。外側の境界は $∣ y ∣ = ∣ z ∣ + 2$ ，内側の境界は $∣ z ∣ ≦ 1/ 2$ では $y^{2} + z^{2} = 1$ ， $∣ z ∣ ≧ 1/ 2$ では $∣ y ∣ = ∣ z ∣ - 2$ である。

(3)

高さ $z$ における断面積を $A (z)$ とする。(2)より $A (z) = π {ρ_{m a x}^{2} - ρ_{m i n}^{2}}$ である。偶関数なので $z ≧ 0$ だけ積分して2倍する。 $0 ≦ z ≦ 1/ 2$ では $A (z) = π (2 z^{2} + 1 + 22 z)$ であり， $1/ 2 ≦ z ≦ 2$ では $A (z) = 42 π z$ である。

よって求める体積 $V$ は

V = 2 π \int_{0}^{1/ 2} (2 z^{2} + 1 + 22 z) d z + 2 π \int_{1/ 2}^{2} 42 z d z = 2 π (\frac{7}{3 2} + 72) = \frac{49 2 π}{3}

である。

東京工業大学 1998年度後期・理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京工業大学 1998年度
後期・理系数学第2問