東京工業大学 1998年度後期・理系数学第1問解答・解説

問題

実数 $a$ ， $b$ に対し

x_{n} = \frac{1}{n ^{b}} {\frac{1}{n ^{a}} + \frac{1}{( n + 1 ) ^{a}} + \dots + \frac{1}{( 2 n - 1 ) ^{a}}} (n = 1, 2, 3, \dots)

とおく。 $n \to \infty$ のとき $x_{n}$ が収束するための $a$ ， $b$ の条件およびそのときの極限値を求めよ。

出典：東京工業大学 1998年度後期後期・理系第1問

方針

和の各項を $n$ でくくり， $x_{n} = n^{1 - a - b}$ にリーマン和を掛けた形へ変形する。 $(1 + j / n)^{- a}$ は $[1, 2]$ 上の正の連続関数なので，平均部分は正の有限値へ収束し，発散・収束は主に $n^{1 - a - b}$ の指数で決まる。境界 $a + b = 1$ では定積分 $\int_{1}^{2} t^{- a} d t$ を計算し， $a = 1$ の場合だけ対数になる。

解答

与えられた式を $j = 0, 1, \dots, n - 1$ として書き直すと

x_{n} = n^{1 - a - b} \cdot \frac{1}{n} j = 0 \sum n - 1 (1 + \frac{j}{n})^{- a}

である。

関数 $t^{- a}$ は $[1, 2]$ で正の連続関数であるから，

\frac{1}{n} j = 0 \sum n - 1 (1 + \frac{j}{n})^{- a} \to \int_{1}^{2} t^{- a} d t

であり，この極限は正の有限値である。

したがって， $1 - a - b < 0$ ，すなわち $a + b > 1$ のとき $x_{n} \to 0$ である。 $1 - a - b = 0$ ，すなわち $a + b = 1$ のときは $x_{n} \to \int_{1}^{2} t^{- a} d t$ である。一方， $1 - a - b > 0$ ，すなわち $a + b < 1$ のときは，正の有限値に収束する平均部分に $n^{1 - a - b}$ が掛かるため， $x_{n} \to \infty$ となり収束しない。

よって収束条件は $a + b ≧ 1$ である。そのときの極限値は

n \to \infty lim x_{n} = ⎩ ⎨ ⎧ 0 \frac{2 ^{1 - a} - 1}{1 - a} lo g 2 (a + b > 1), (a + b = 1, a \neq = 1), (a = 1, b = 0)

である。

東京工業大学 1998年度後期・理系数学 第1問

問題

方針

解答

東京工業大学 1998年度
後期・理系数学第1問