東京工業大学 1997年度後期・理系数学第1問解答・解説

問題

放物線 $y = x^{2}$ を $C_{1}$ とし， $C_{1}$ 上に両端をもつ長さ $1$ の線分の中点の軌跡を $C_{2}$ とする。 $C_{1}$ ， $C_{2}$ および2直線 $x = \pm a$ $(a > 0)$ で囲まれる部分の面積を $S_{a}$ とするとき， $a \to \infty lim S_{a}$ を求めよ。

出典：東京工業大学 1997年度後期後期・理系第1問

方針

$C_{1}$ 上の2点を媒介変数 $u, v$ で表し，中点の座標を $X, Y$ とする。線分の長さが $1$ である条件から $(u - v)^{2} {1 + (u + v)^{2}} = 1$ を得て， $Y - X^{2}$ を $X$ だけで表す。面積は $C_{2} - C_{1}$ の差の積分になり，最後は $2 x = tan θ$ の置換で極限を求める。

解答

$C_{1}$ 上の2点を $(u, u^{2})$ ， $(v, v^{2})$ とする。線分の長さが $1$ である条件は

(u - v)^{2} + (u^{2} - v^{2})^{2} = (u - v)^{2} {1 + (u + v)^{2}} = 1

である。

この線分の中点を $(X, Y)$ とすると， $X = (u + v) /2$ であり，

Y = \frac{u ^{2} + v ^{2}}{2} = X^{2} + \frac{( u - v ) ^{2}}{4} = X^{2} + \frac{1}{4 ( 1 + 4 X ^{2} )}

である。したがって $C_{2} : y = x^{2} + \frac{1}{4 ( 1 + 4 x ^{2} )}$ であり， $C_{2}$ は $C_{1}$ の上側にある。

よって

S_{a} = \int_{- a}^{a} \frac{d x}{4 ( 1 + 4 x ^{2} )} = \frac{1}{2} \int_{0}^{a} \frac{d x}{1 + 4 x ^{2}}

である。 $2 x = tan θ$ とおき， $x = a$ に対応する $θ$ を $θ_{a}$ とする。ただし $0 < θ_{a} < π /2$ ， $tan θ_{a} = 2 a$ である。このとき

S_{a} = \frac{1}{2} \int_{0}^{θ_{a}} \frac{( 1/2 ) d θ}{1 + tan ^{2} θ} \cdot \frac{1}{cos ^{2} θ} = \frac{θ _{a}}{4}

となる。 $a \to \infty$ のとき $θ_{a} \to π /2$ だから $a \to \infty lim S_{a} = \frac{π}{8}$ である。

東京工業大学 1997年度後期・理系数学 第1問

問題

方針

解答

東京工業大学 1997年度
後期・理系数学第1問