東京工業大学 1995年度後期・理系数学第2問解答・解説

問題

楕円 $C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + y^{2} = 1$ $(a ≧ 1)$ が与えられている。

(1) $C$ の外部の点 $P (X, Y)$ から $C$ への2接線が直交するように $P$ を動かす。 $P$ の軌跡を求めよ。

(2) $S$ を (1) で求めた $P$ の軌跡とする。 $S$ と $C$ で囲まれた部分を直線 $x = 2 a$ を軸として，回転してできる回転体の体積を求めよ。

出典：東京工業大学 1995年度後期後期・理系第2問

方針

(1) は傾き $m$ の直線 $y = m x + k$ が楕円に接する条件を判別式で求め，点 $P (X, Y)$ を通る2本の接線の傾きの積が $- 1$ になる条件にする。(2) は (1) の軌跡が円 $x^{2} + y^{2} = a^{2} + 1$ であり，楕円がその内側にあることを使う。縦切片を回転させる体積積分で，奇関数部分が打ち消されることから面積差だけを計算する。

解答

(1)

傾き $m$ の直線を $y = m x + k$ とする。これを楕円 $x^{2} / a^{2} + y^{2} = 1$ に代入すると $(\frac{1}{a ^{2}} + m^{2}) x^{2} + 2 mk x + k^{2} - 1 = 0$ である。この直線が接線であるための条件は判別式が $0$ であることなので，整理して $k^{2} = 1 + a^{2} m^{2}$ を得る。

この接線が $P (X, Y)$ を通るとき $k = Y - m X$ であるから，接線の傾き $m$ は $(X^{2} - a^{2}) m^{2} - 2 X Y m + Y^{2} - 1 = 0$ を満たす。2本の接線の傾きを $m_{1}, m_{2}$ とすると，直交条件は $m_{1} m_{2} = - 1$ である。よって $\frac{Y ^{2} - 1}{X ^{2} - a ^{2}} = - 1$ となり， $X^{2} + Y^{2} = a^{2} + 1$ を得る。

なお $X^{2} = a^{2}$ で一方の接線が鉛直になる場合も，直交するもう一方は水平であり，その点は $(\pm a, \pm 1)$ で，上の円に含まれる。逆にこの円上の点からの2接線は上の2次方程式で与えられ，その傾きの積が $- 1$ になる。したがって求める軌跡は $S : x^{2} + y^{2} = a^{2} + 1$ である。

(2)

$R = a^{2} + 1$ とおく。楕円 $C$ は円 $S : x^{2} + y^{2} = R^{2}$ の内側にあるので，求める平面部分は円の内部から楕円の内部を除いた部分である。

この部分の，横座標 $x$ における縦切片の長さを $h (x)$ とする。 $h (x)$ は偶関数である。これを直線 $x = 2 a$ のまわりに回転すると，縦切片からできる薄い部分の体積は $2 π (2 a - x) h (x) d x$ である。したがって

V = \int_{- R}^{R} 2 π (2 a - x) h (x) d x = 4 π a \int_{- R}^{R} h (x) d x

である。最後の等号では $x h (x)$ が奇関数であることを用いた。

ここで $\int_{- R}^{R} h (x) d x$ は円と楕円で囲まれた部分の面積であり， $π R^{2} - π a = π (a^{2} - a + 1)$ である。よって求める体積は $V = 4 π^{2} a (a^{2} - a + 1)$ である。

東京工業大学 1995年度後期・理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 1995年度
後期・理系数学第2問