問題
一辺の長さが の立方体 がある。 を の6つの面に内接する球とする。次に に外接し， の3つの面に接する球 を取る。 に外接し， の3つの面に接する球 を の外側に（ と反対側に）取る。以下帰納的に， まで取れたとして， に外接し， の3つの面に接する球 を の外側に取る。
(1) の半径を の式で表せ。
(2) 立方体 の中でどの にも含まれない部分の体積を求めよ。
出典：東京工業大学 1995年度 後期 後期・理系 第1問
方針
立方体を座標空間の に置き，3つの面を として考える。これら3面に接する球の中心は と書ける。隣り合う2球の中心間距離が半径の和に等しいことから半径の漸化式を作り，体積は等比数列の和で求める。
解答
(1)
立方体を とおき， が接する3面を とする。 の中心は ，半径は である。
3面 に接する半径 の球の中心は である。 の半径を とすると， であり， は より原点側にあるので である。外接条件からとなる。よってである。したがってである。
(2)
各球は互いに接するだけで重ならない。したがって，求める体積は立方体の体積からすべての球の体積を引けばよい。 とおくと
である。ここで だからである。よって求める体積はである。