東京工業大学 1994年度後期・理系数学第2問解答・解説

問題

自然数 $n = 1, 2, 3, \dots$ に対して， $(2 - 3)^{n}$ という形の数を考える。これらの数はいずれも，それぞれ適当な自然数 $m$ が存在して $m - m - 1$ という表示をもつことを示せ。

出典：東京工業大学 1994年度後期後期・理系第2問

方針

$α = 2 + 3$ ， $β = 2 - 3$ とおくと $α β = 1$ である。目標の形は $β^{n} = m - m - 1$ であり，これは逆数側で $α^{n} = m + m - 1$ と対応する。そこで $S_{n} = α^{n} + β^{n}$ が偶数であることを， $α, β$ が方程式 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ を満たすことから漸化式で示す。 $A_{n} = S_{n} /2$ とし， $m = A_{n}^{2}$ と選べば， $α^{n} β^{n} = 1$ により $m - 1$ も必要な平方になることを確認する。

解答

$α = 2 + 3$ ， $β = 2 - 3$ とおく。すると $α β = 1$ ， $α + β = 4$ であり， $α$ ， $β$ はともに $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ を満たす。

$S_{n} = α^{n} + β^{n}$ とおく。上の二次方程式より $α^{n + 2} = 4 α^{n + 1} - α^{n}$ ， $β^{n + 2} = 4 β^{n + 1} - β^{n}$ であるから $S_{n + 2} = 4 S_{n + 1} - S_{n}$ が成り立つ。また $S_{0} = 2$ ， $S_{1} = 4$ である。したがって数学的帰納法により，すべての $n ≧ 0$ で $S_{n}$ は偶数の自然数である。

$n ≧ 1$ に対して

A_{n} = \frac{S _{n}}{2} = \frac{α ^{n} + β ^{n}}{2}

とおけば， $A_{n}$ は自然数である。ここで $m = A_{n}^{2}$ と定める。このとき $m$ は自然数であり， $α^{n} β^{n} = 1$ だから

m - 1 = (\frac{α ^{n} + β ^{n}}{2})^{2} - 1 = (\frac{α ^{n} - β ^{n}}{2})^{2}

である。 $0 < β < 1 < α$ より $(α^{n} - β^{n}) /2 > 0$ なので，

m = A_{n}, m - 1 = \frac{α ^{n} - β ^{n}}{2}

である。したがって

m - m - 1 = \frac{α ^{n} + β ^{n}}{2} - \frac{α ^{n} - β ^{n}}{2} = β^{n} = (2 - 3)^{n}

となる。よって各自然数 $n$ に対し，このような自然数 $m$ が存在する。

東京工業大学 1994年度後期・理系数学 第2問

問題

方針

解答

東京工業大学 1994年度
後期・理系数学第2問