東京工業大学 1994年度
後期・理系数学 第1問

解答

$f$ は連続であるから，$F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ はすべての $x$ で微分可能であり，$F^{\prime }(x)=f(x)$ である。

まず $a=0$ とすると $F(x)=x^2+cx$ である。このとき $f(x)=2x+c$ であり，$f(0)=1$ から $c=1$ となる。しかし $F(1)=1+c=2$ となり，条件に反する。よって $a\ne 0$ である。

次に $b\ne 0$ と仮定する。$h(x)=x|x-b|$ とおくと，$x<b$ では $h(x)=bx-x^2$，$x>b$ では $h(x)=x^2-bx$ である。したがって $x=b$ における左微分係数は $-b$，右微分係数は $b$ である。$a\ne 0$，$b\ne 0$ なら $ah(x)$ の左右微分係数は一致しないので，$F$ が $x=b$ で微分可能であることに反する。したがって $b=0$ でなければならない。

よって$F(x)=x^2+ax|x|+cx$である。$x|x|$ は微分可能で，その導関数は $2|x|$ であるから

である。条件 $f(0)=1$ より $c=1$。また

であるから，$F(1)=0$ より $a=-2$ である。

逆に $a=-2,b=0,c=1$ とすれば $F(x)=x^2-2x|x|+x$ で，得られた $f$ は連続であり，$F(1)=0$，$f(0)=1$ も満たす。したがって$f(x)=2x-4|x|+1$である。すなわち

である。