東京工業大学 1993年度後期・理系数学第2問解答・解説

問題

$A = (2012)$ とし，正の整数 $n$ に対し $A^{n} = (a_{n} c_{n} b_{n} d_{n})$ とおく。

(1) $a_{n}$ ， $b_{n}$ ， $c_{n}$ ， $d_{n}$ を求めよ。

(2) $a_{n}$ ， $b_{n}$ ， $c_{n}$ ， $d_{n}$ を3で割った余りを $α_{n}$ ， $β_{n}$ ， $γ_{n}$ ， $δ_{n}$ と書く。 $(α_{n} γ_{n} β_{n} δ_{n}) = (1001)$ となるための必要十分条件は $n$ が6の倍数であることを示せ。

出典：東京工業大学 1993年度後期後期・理系第2問

方針

(1) は $A^{n}$ の形を予想し，数学的帰納法で確認する。(2) は (1) の結果を3で割った余りで調べる。 $2 \equiv - 1 (mod 3)$ なので対角成分が1になる条件は $n$ が偶数であること，右上成分が0になる条件はさらに $n$ が3の倍数であることになる。

解答

(1)

A^{n} = (2^{n} 0 n 2^{n - 1} 2^{n})

であることを帰納法で示す。 $n = 1$ では明らかである。 $n$ で成り立つとすると，

A^{n + 1} = (2^{n} 0 n 2^{n - 1} 2^{n}) (2012) = (2^{n + 1} 0 (n + 1) 2^{n} 2^{n + 1})

である。よってすべての正の整数 $n$ で成り立つ。したがって $a_{n} = d_{n} = 2^{n}$ ， $b_{n} = n 2^{n - 1}$ ， $c_{n} = 0$ である。

(2)

3で割った余りを考える。 $2 \equiv - 1 (mod 3)$ であるから， $a_{n} \equiv d_{n} \equiv (- 1)^{n} (mod 3)$ である。したがって $α_{n} = δ_{n} = 1$ となるための条件は， $n$ が偶数であることである。

また $γ_{n} = 0$ は常に成り立つ。 $n$ が偶数のとき， $2^{n - 1} \equiv 2 (mod 3)$ であり，これは3で割り切れない。したがって $β_{n} = 0$ となるための条件は $n$ が3の倍数であることである。

よって行列が $(1001)$ になるための必要十分条件は， $n$ が偶数かつ3の倍数であること，すなわち $n$ が6の倍数であることである。

東京工業大学 1993年度後期・理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 1993年度
後期・理系数学第2問