問題
一辺の長さが1の立方体を，中心を通る対角線のうちの一本を軸として回転させたとき，この立方体が通過する部分の体積を求めよ。
出典：東京工業大学 1993年度 後期 後期・理系 第1問
方針
立方体を中心が原点，辺が座標軸に平行な ，， とし，回転軸を とする。軸に垂直な平面 で切り，その断面を回転したときの半径の最大値 を求める。固定和のもとで が最大になる点を の範囲で場合分けし， を軸方向に積分する。
解答
立方体を，，で表し，回転軸を とする。 とおくと，立方体内では である。
平面 上の点 から軸 へ下ろした垂線の足は である。したがって軸からの距離の2乗はである。この平面による立方体の断面は点 を含む凸な図形なので，回転後の断面は半径 の円板になる。ただし はこの断面内での の最大値である。
固定した のもとで を最大にするには， を最大にすればよい。和を保って2つの座標を ， に変えると，二乗和の変化は であるから，端に寄せることで二乗和は小さくならない。よって最大は可能な限り座標が にある点で起こる。
対称性より だけ考えればよい。 では，最大は の並べ替えで起こり，
である。 では，最大は の並べ替えで起こり，
である。
軸方向の長さ要素は である。したがって求める体積 は
である。よって体積は である。