東京工業大学 1992年度後期・理系数学第2問解答・解説

問題

$0 < a < 1$ とする。座標平面上で原点 $A_{0}$ から出発して $x$ 軸の正の方向に $a$ だけ進んだ点を $A_{1}$ とする。次に $A_{1}$ で進行方向を反時計回りに $12 0^{\circ}$ 回転し $a^{2}$ だけ進んだ点を $A_{2}$ とする。以後同様に $A_{n - 1}$ で反時計回りに $12 0^{\circ}$ 回転して $a^{n}$ だけ進んだ点を $A_{n}$ とする。このとき点列 $A_{0}, A_{1}, A_{2}, \dots$ の極限の座標を求めよ。

出典：東京工業大学 1992年度後期後期・理系第2問

方針

各移動ベクトルの方向は $0^{\circ}, 12 0^{\circ}, 24 0^{\circ}$ を周期3で繰り返す。したがって3歩を1組にして $x$ 成分と $y$ 成分をそれぞれ等比数列の和として計算する。 $0 < a < 1$ なので無限等比級数が収束し，その和が点列の極限座標になる。

解答

第 $n$ 歩の移動ベクトルを考える。方向は $0^{\circ}, 12 0^{\circ}, 24 0^{\circ}$ を周期3で繰り返すので，3歩を1組にすると

長さ a^{3 j + 1} a^{3 j + 2} a^{3 j + 3} 移動ベクトル (a^{3 j + 1}, 0) (- \frac{1}{2} a^{3 j + 2}, \frac{3}{2} a^{3 j + 2}) (- \frac{1}{2} a^{3 j + 3}, - \frac{3}{2} a^{3 j + 3})

である。ただし $j = 0, 1, 2, \dots$ である。

$0 < a < 1$ なので，点列 $A_{n}$ は各成分の無限等比級数の和に収束する。極限の $x$ 座標は

j = 0 \sum \infty (a^{3 j + 1} - \frac{1}{2} a^{3 j + 2} - \frac{1}{2} a^{3 j + 3}) = \frac{a - \frac{1}{2} a ^{2} - \frac{1}{2} a ^{3}}{1 - a ^{3}} = \frac{a ( a + 2 )}{2 ( a ^{2} + a + 1 )}

である。極限の $y$ 座標は

j = 0 \sum \infty (\frac{3}{2} a^{3 j + 2} - \frac{3}{2} a^{3 j + 3}) = \frac{\frac{3}{2} ( a ^{2} - a ^{3} )}{1 - a ^{3}} = \frac{3 a ^{2}}{2 ( a ^{2} + a + 1 )}

である。したがって求める極限の座標は

(\frac{a ( a + 2 )}{2 ( a ^{2} + a + 1 )}, \frac{3 a ^{2}}{2 ( a ^{2} + a + 1 )})

である。

東京工業大学 1992年度後期・理系数学 第2問

問題

方針

解答

東京工業大学 1992年度
後期・理系数学第2問