東京工業大学 1992年度後期・理系数学第1問解答・解説

問題

$x$ の関数 $F (x) = \int_{0}^{1} \frac{∣ t - x ∣}{t + 1} d t$ の最小値を求めよ。

出典：東京工業大学 1992年度後期後期・理系第1問

方針

$x < 0$ ， $0 ≦ x ≦ 1$ ， $x > 1$ に分ける。最小は $[0, 1]$ 内で起こることを単調性から確認し，その範囲では絶対値を $[0, x]$ と $[x, 1]$ に分けて積分する。得られた式を微分し， $2 lo g (1 + x) - lo g 2 = 0$ から候補 $x = 2 - 1$ を求めて最小値を評価する。

解答

まず $x < 0$ のとき，すべての $t$ で $∣ t - x ∣ = t - x$ であるから， $F (x)$ は $x$ が増えると減少する。 $x > 1$ のとき，すべての $t$ で $∣ t - x ∣ = x - t$ であるから， $F (x)$ は $x$ が増えると増加する。したがって最小値は $0 ≦ x ≦ 1$ の範囲で考えればよい。

$0 ≦ x ≦ 1$ とする。このとき

F (x) = \int_{0}^{x} \frac{x - t}{t + 1} d t + \int_{x}^{1} \frac{t - x}{t + 1} d t = (x + 1) lo g (x + 1) - x + 1 - x - (x + 1) {lo g 2 - lo g (x + 1)} = 1 - 2 x + (x + 1) {2 lo g (x + 1) - lo g 2}

である。よって $F^{'} (x) = 2 lo g (x + 1) - lo g 2$ である。 $F^{'} (x) = 0$ より $x + 1 = 2$ ，すなわち $x = 2 - 1$ を得る。

また $F^{'} (x)$ は $x$ とともに増加するので， $F (x)$ は $x = 2 - 1$ で最小になる。このとき $2 lo g (x + 1) - lo g 2 = 0$ であるから，

F (2 - 1) = 1 - 2 (2 - 1) = 3 - 22

である。したがって最小値は $3 - 22$ である。

東京工業大学 1992年度後期・理系数学 第1問

問題

方針

解答

東京工業大学 1992年度
後期・理系数学第1問