問題
原点 を中心とする半径 の円 の内部に，一辺の長さが で対角線の交点が となるような正方形 をとる。 上の点 において，線分 と角 で交わる2本の半直線を引く。このとき， が 上どのような位置にあっても，これら2本の半直線が正方形 を通るような の最大値を求めよ。
方針
正方形の辺を座標軸に平行にして ， とおく。円と正方形の対称性により，円周上の点を ， としてよい。 から正方形を見る角のうち，線分 から上下の接線方向までの角を調べる。上側の接線方向は の高さによって接する頂点が変わるため， で場合を分け，すべての接線角が 以上であることと，等号を実現する位置があることを示す。
解答
正方形の辺を座標軸に平行にとり，正方形をと表す。円 は である。対称性により，， の場合を調べれば十分である。以下 ， とおく。
点 から正方形へ引いた2本の接線方向の間にある半直線は正方形を通る。したがって，線分 の方向から上下の接線方向までの角の小さい方が，その で許される最大の角である。
下側の接線は頂点 を通る。線分 の方向ベクトルは ，頂点 への方向ベクトルは であるから，そのなす角を とするとである。ここで は と同値である。左辺は において端点で または となり，内部ではそれ以上になるので，確かに 以上である。したがってである。
上側の接線は， では頂点 を通り， では頂点 を通る。前者の場合，上側の接線方向と のなす角を とするとである。この区間ではが成り立つ。実際，左辺から右辺を引いた はこの区間で単調に減少し， で になる。よって である。
後者の場合はである。この区間ではが成り立つ。実際，左辺から右辺を引いた はこの区間で単調に増加し， で になる。よってこの場合も である。
以上より，任意の に対して，線分 と角 をなす2本の半直線はいずれも正方形を通る。したがって は条件を満たす。
一方，，すなわち のとき，上側の接線は正方形の上辺 と一致し，この接線と のなす角はちょうど である。したがって とすると，上側の半直線は正方形の上を通ってしまい，正方形を通らない。よって求める最大値はである。