東京工業大学 1991年度後期・理系数学第1問解答・解説

問題

10進法表示の $n$ 桁の正の整数で，隣り合う桁の数字が互いに相異なるような数の個数を $a_{n}$ とするとき，次の問いに答えよ。

(1) $a_{n}$ を求めよ。

(2) 上の数のうちで，1の位の数字が $0$ である数の個数を $b_{n}$ とするとき， $n \to \infty lim \frac{b _{n}}{a _{n}}$ を求めよ。

出典：東京工業大学 1991年度後期後期・理系第1問

方針

(1)は最高位に $1$ から $9$ までの9通りを選び，以後は直前の数字と異なる9通りを選ぶ。(2)は末位が $0$ で終わる個数と，末位が $0$ でない個数に状態を分ける。比 $p_{n} = b_{n} / a_{n}$ の漸化式を作れば，極限は一次漸化式の固定値から求まる。

解答

(1)

最高位の数字は $1, 2, \dots, 9$ の9通りである。2桁目以降は，それぞれ直前の桁と異なる数字を選べばよいので，各桁について9通りである。したがって $a_{n} = 9^{n}$ である。

(2)

条件を満たす $n$ 桁の数のうち，1の位が $0$ でないものの個数を $c_{n}$ とする。すると $a_{n} = b_{n} + c_{n}$ である。

$n + 1$ 桁の数で1の位が $0$ になるためには，その直前の桁は $0$ でない必要がある。よって $b_{n + 1} = c_{n} = a_{n} - b_{n}$ である。 $p_{n} = b_{n} / a_{n}$ とおくと， $a_{n + 1} = 9 a_{n}$ だから $p_{n + 1} = \frac{b _{n + 1}}{a _{n + 1}} = \frac{a _{n} - b _{n}}{9 a _{n}} = \frac{1 - p _{n}}{9}$ である。したがって $p_{n + 1} - \frac{1}{10} = - \frac{1}{9} (p_{n} - \frac{1}{10})$ となる。右辺の係数の絶対値は $1$ より小さいので， $p_{n} \to \frac{1}{10}$ である。よって $n \to \infty lim \frac{b _{n}}{a _{n}} = \frac{1}{10}$ である。

東京工業大学 1991年度後期・理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 1991年度
後期・理系数学第1問