東京工業大学 1990年度後期・理系数学第2問解答・解説

問題

$n$ を2以上の整数とする。

(1) $n - 1$ 次多項式 $P_{n} (x)$ と $n$ 次多項式 $Q_{n} (x)$ ですべての実数 $θ$ に対して

sin (2 n θ) = n sin (2 θ) P_{n} (sin^{2} θ), cos (2 n θ) = Q_{n} (sin^{2} θ)

を満たすものが存在することを帰納法を用いて示せ。

(2) $k = 1, 2, \dots, n - 1$ に対して $α_{k} = (sin \frac{k π}{2 n})^{- 2}$ とおくと $P_{n} (x) = (1 - α_{1} x) (1 - α_{2} x) \dots (1 - α_{n - 1} x)$ となることを示せ。

(3) $k = 1 \sum n - 1 α_{k} = \frac{2 n ^{2} - 2}{3}$ を示せ。

出典：東京工業大学 1990年度後期後期・理系第2問

方針

(1) は $n = 2$ を基底にし，加法定理で $n$ から $n + 1$ の $P, Q$ を定義する。次数が本当に指定通りであることは最高次係数を追って確認する。(2) は $θ = k π / (2 n)$ を代入して $P_{n}$ の $n - 1$ 個の根を得て，定数項が $1$ であることと合わせる。(3) は $P_{n}$ の1次の係数を，(1) の漸化式から求め，(2) の展開の1次係数と比較する。

解答

(1)

$n = 2$ のとき

sin 4 θ = 2 sin 2 θ (1 - 2 sin^{2} θ), cos 4 θ = 1 - 8 sin^{2} θ + 8 sin^{4} θ

であるから， $P_{2} (x) = 1 - 2 x$ ， $Q_{2} (x) = 1 - 8 x + 8 x^{2}$ とすればよい。

ある $n ≧ 2$ で条件を満たす $P_{n}, Q_{n}$ が存在すると仮定する。 $x = sin^{2} θ$ とおく。加法定理より

sin (2 (n + 1) θ) cos (2 (n + 1) θ) = sin (2 n θ) cos 2 θ + cos (2 n θ) sin 2 θ = sin 2 θ {n (1 - 2 x) P_{n} (x) + Q_{n} (x)}, = cos (2 n θ) cos 2 θ - sin (2 n θ) sin 2 θ = (1 - 2 x) Q_{n} (x) - 4 n x (1 - x) P_{n} (x)

である。そこで

P_{n + 1} (x) = \frac{n ( 1 - 2 x ) P _{n} ( x ) + Q _{n} ( x )}{n + 1}, Q_{n + 1} (x) = (1 - 2 x) Q_{n} (x) - 4 n x (1 - x) P_{n} (x)

と定めれば， $n + 1$ についても条件を満たす。

次数を確認する。 $P_{n}$ の最高次係数を $p_{n}$ ， $Q_{n}$ の最高次係数を $q_{n}$ とすると， $p_{2} = - 2$ ， $q_{2} = 8$ である。上の漸化式から

p_{n + 1} = \frac{- 2 n p _{n} + q _{n}}{n + 1}, q_{n + 1} = - 2 q_{n} + 4 n p_{n}

である。帰納法により $p_{n} = (- 1)^{n - 1} \frac{2 ^{2 n - 2}}{n}$ ， $q_{n} = (- 1)^{n} 2^{2 n - 1}$ となり，いずれも $0$ でない。したがって $P_{n}$ は $n - 1$ 次， $Q_{n}$ は $n$ 次である。以上より (1) は示された。

(2)

(1) で作った $P_{n}$ について，まず定数項を調べる。 $P_{2} (0) = 1$ ， $Q_{2} (0) = 1$ であり，上の漸化式から $P_{n + 1} (0) = 1$ ， $Q_{n + 1} (0) = 1$ が従う。よってすべての $n$ で $P_{n} (0) = 1$ である。

$k = 1, 2, \dots, n - 1$ とし， $θ = \frac{k π}{2 n}$ とおく。このとき $sin (2 n θ) = sin k π = 0$ であり，また $0 < 2 θ < π$ だから $sin 2 θ \neq = 0$ である。したがって (1) の式から $P_{n} (sin^{2} \frac{k π}{2 n}) = 0$ である。

$k = 1, 2, \dots, n - 1$ に対して $0 < \frac{k π}{2 n} < \frac{π}{2}$ であり，これらの $sin^{2} \frac{k π}{2 n}$ は互いに異なる。よって $P_{n} (x)$ は $n - 1$ 次多項式で，その根は $x = sin^{2} \frac{k π}{2 n} = \frac{1}{α _{k}}$ $(k = 1, 2, \dots, n - 1)$ である。さらに定数項は $1$ であるから $P_{n} (x) = (1 - α_{1} x) (1 - α_{2} x) \dots (1 - α_{n - 1} x)$ となる。

(3)

$P_{n} (x)$ の $x$ の係数を $a_{n}$ ， $Q_{n} (x)$ の $x$ の係数を $b_{n}$ とする。 $Q_{2} (x) = 1 - 8 x + 8 x^{2}$ であるから $b_{2} = - 8$ である。また (1) の漸化式から $b_{n + 1} = b_{n} - 2 - 4 n$ である。よって帰納法により $b_{n} = - 2 n^{2}$ である。

次に $P_{2} (x) = 1 - 2 x$ だから $a_{2} = - 2$ であり，(1) の漸化式から

a_{n + 1} = \frac{n ( a _{n} - 2 ) + b _{n}}{n + 1} = \frac{n ( a _{n} - 2 ) - 2 n ^{2}}{n + 1}

である。ここから帰納法により $a_{n} = - \frac{2 n ^{2} - 2}{3}$ が従う。実際， $n = 2$ では成り立ち，成り立つと仮定すると

a_{n + 1} = \frac{n}{n + 1} (- \frac{2 n ^{2} - 2}{3} - 2 - 2 n) = - \frac{2 n ( n + 2 )}{3} = - \frac{2 ( n + 1 ) ^{2} - 2}{3}

である。

一方，(2) の式を展開したときの $x$ の係数は $- \sum_{k = 1}^{n - 1} α_{k}$ である。これが $a_{n}$ に等しいので

k = 1 \sum n - 1 α_{k} = \frac{2 n ^{2} - 2}{3}

となる。

東京工業大学 1990年度後期・理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

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後期・理系数学第2問