東京工業大学 1990年度後期・理系数学第1問解答・解説

問題

$(x + 1) (x - 2)$ の小数第1位を四捨五入したものが $1 + 5 x$ と等しくなるような実数 $x$ を求めよ。

出典：東京工業大学 1990年度後期後期・理系第1問

方針

四捨五入した値は整数なので，まず $1 + 5 x$ を整数 $N$ とおく。実数 $(x + 1) (x - 2)$ が四捨五入で $N$ になる条件を $N - 1/2 ≦ (x + 1) (x - 2) < N + 1/2$ と表し， $N = 1 + 5 x$ を代入して $x$ の範囲を出す。最後に $1 + 5 x$ が整数となる点だけを拾う。

解答

四捨五入した値は整数であるから， $1 + 5 x$ は整数でなければならない。これを $N$ とおく。

$(x + 1) (x - 2) = x^{2} - x - 2$ が四捨五入によって $N$ になる条件は $N - \frac{1}{2} ≦ x^{2} - x - 2 < N + \frac{1}{2}$ である。ここで $N = 1 + 5 x$ を代入すると $5 x + \frac{1}{2} ≦ x^{2} - x - 2 < 5 x + \frac{3}{2}$ となる。整理して $x^{2} - 6 x - \frac{5}{2} ≧ 0$ ，かつ $x^{2} - 6 x - \frac{7}{2} < 0$ であるから $\frac{23}{2} ≦ (x - 3)^{2} < \frac{25}{2}$ を得る。

したがって

3 - \frac{5}{2} < x ≦ 3 - \frac{23}{2} または 3 + \frac{23}{2} ≦ x < 3 + \frac{5}{2}

である。この範囲の中で $1 + 5 x$ が整数となるものを調べると，左側からは $x = - \frac{2}{5}$ ，右側からは $x = \frac{32}{5}$ だけが得られる。

実際， $x = - \frac{2}{5}$ のとき $(x + 1) (x - 2) = - \frac{36}{25} = - 1.44$ ， $1 + 5 x = - 1$ であり，四捨五入後の値は $- 1$ である。また $x = \frac{32}{5}$ のとき $(x + 1) (x - 2) = \frac{814}{25} = 32.56$ ， $1 + 5 x = 33$ であり，四捨五入後の値は $33$ である。

よって求める実数は $x = - \frac{2}{5}, \frac{32}{5}$ である。

東京工業大学 1990年度後期・理系数学 第1問

問題

方針

解答

東京工業大学 1990年度
後期・理系数学第1問