大阪大学 2025年度文系数学第3問解答・解説

問題

座標平面において， $y = x^{2} - 1$ で表される放物線を $C$ とする． $C$ 上の点 $P$ における $C$ の接線を $l$ とする．ただし，点 $P$ は $y$ 軸上にはないものとする． $O$ を原点とし，放物線 $C$ と線分 $O P$ および $y$ 軸で囲まれた図形の面積を $S$ ，放物線 $C$ と接線 $l$ および $y$ 軸で囲まれた図形の面積を $T$ とする． $S - T$ の最大値を求めよ．

出典：大阪大学 2025年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

放物線と設定は $y$ 軸対称なので，接点の $x$ 座標を $u > 0$ としてよい。 $P = (u, u^{2} - 1)$ とおき，線分 $O P$ の直線と接線をそれぞれ求める。 $S$ は $0 ≦ x ≦ u$ で直線 $O P$ が放物線より上にある面積， $T$ は接線が放物線に接するため差が $(x - u)^{2}$ になる面積として積分する。最後は $S - T = \frac{u}{2} - \frac{u ^{3}}{6}$ を $u > 0$ で最大化し，端では最大にならないことも確認する。

解答

放物線 $C : y = x^{2} - 1$ は $y$ 軸対称であり， $S$ と $T$ も接点を $y$ 軸に関して反転しても変わらない。したがって，点 $P$ の $x$ 座標を $u > 0$ としてよい。すると $P = (u, u^{2} - 1)$ である。

まず，線分 $O P$ を含む直線は原点と $P$ を通るので $y = \frac{u ^{2} - 1}{u} x$ である。 $0 ≦ x ≦ u$ ではこの直線と放物線で囲まれる部分が $S$ であり，

S = \int_{0}^{u} {\frac{u ^{2} - 1}{u} x - (x^{2} - 1)} d x = [\frac{u ^{2} - 1}{2 u} x^{2} - \frac{x ^{3}}{3} + x]_{0}^{u} = \frac{u ( u ^{2} - 1 )}{2} - \frac{u ^{3}}{3} + u = \frac{u ^{3}}{6} + \frac{u}{2} .

次に， $C$ の $x = u$ における接線を求める。 $y = x^{2} - 1$ の微分係数は $2 x$ なので，接線 $l$ は $y - (u^{2} - 1) = 2 u (x - u)$ すなわち $y = 2 ux - u^{2} - 1$ である。放物線と接線の差は $(x^{2} - 1) - (2 ux - u^{2} - 1) = (x - u)^{2}$ であるから， $y$ 軸と接線と放物線で囲まれる面積は $T = \int_{0}^{u} (x - u)^{2} d x = [\frac{( x - u ) ^{3}}{3}]_{0}^{u} = \frac{u ^{3}}{3}$ である。

したがって

S - T = (\frac{u ^{3}}{6} + \frac{u}{2}) - \frac{u ^{3}}{3} = \frac{u}{2} - \frac{u ^{3}}{6}

である。これを $H (u) = \frac{u}{2} - \frac{u ^{3}}{6} (u > 0)$ とおく。微分すると $H^{'} (u) = \frac{1}{2} - \frac{u ^{2}}{2} = \frac{1 - u ^{2}}{2}$ であるから， $0 < u < 1$ で増加し， $u > 1$ で減少する。また $u \to 0 +$ では $H (u) \to 0$ であり， $u$ が大きくなると $H (u)$ は負になる。よって最大は $u = 1$ でとる。

最大値は $H (1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ である。

大阪大学 2025年度文系数学 第3問

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