大阪大学 2025年度
文系数学 第2問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 数列
- 解法
- 漸化式の変形、和の計算、数学的帰納法
- 難易度
- 6 / 10 計算量 5 / 10 目安 18分
問題
次の条件によって定められる数列{an}がある．
a1=1,an+1=2n2n−1an(n=1,2,3,⋯)
(1) 正の整数k,lに対して
k+l−1kak+1al+k+l−1lakal+1=akal
が成り立つことを示せ．
(2) 正の整数mに対して
k=1∑makam−k+1=1
が成り立つことを示せ．
出典：大阪大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
(1)は漸化式から ak+1 と al+1 を ak,al で表し，係数だけを整理する。(2)は Sm=∑k=1makam−k+1 とおき，(1)に l=m−k+1 を代入する。足し合わせた右辺はそのままでは見えにくいので，ajam+2−j の係数を端点 j=1,m+1 と中間 2≦j≦m に分けて確認し，Sm=Sm+1 を得る。最後に S1=1 から全ての m で Sm=1 と結論する。
解答
(1)
漸化式より ak+1=2k2k−1ak,al+1=2l2l−1al である。したがって左辺は
k+l−1kak+1al+k+l−1lakal+1={k+l−1k⋅2k2k−1+k+l−1l⋅2l2l−1}akal=2(k+l−1)(2k−1)+(2l−1)akal=akal.
よって示された。
(2)
Sm=∑k=1makam−k+1 とおく。(1)に l=m−k+1 を代入する。このとき k+l−1=m であるから，akam−k+1=mkak+1am−k+1+mm−k+1akam−k+2 である。これを k=1,2,…,m について足すと
Sm=m1k=1∑mkak+1am−k+1+m1k=1∑m(m−k+1)akam−k+2.
右辺が Sm+1 になることを係数で確認する。第1の和で j=k+1 とおくと，j=2,3,…,m+1 で，項 ajam+2−j の係数は (j−1)/m である。第2の和で j=k とおくと，j=1,2,…,m で，項 ajam+2−j の係数は (m−j+1)/m である。
したがって，端点 j=1 と j=m+1 の係数はいずれも 1 であり，中間の 2≦j≦m では係数の和が mj−1+mm−j+1=1 となる。よって Sm=∑j=1m+1ajam+2−j=Sm+1 である。
これより Sm=Sm−1=⋯=S1 である。S1=a12=1 だから，すべての正の整数 m について ∑k=1makam−k+1=1 が成り立つ。
