大阪大学 2023年度文系数学第2問解答・解説

問題

正の実数 $a$ ， $x$ に対して，

y = (lo g_{\frac{1}{2}} x)^{3} + a (lo g_{2} x) (lo g_{4} x^{3})

とする．

(1) $t = lo g_{2} x$ とするとき， $y$ を $a$ ， $t$ を用いて表せ．

(2) $x$ が $\frac{1}{2} ≦ x ≦ 8$ の範囲を動くとき， $y$ の最大値 $M$ を $a$ を用いて表せ．

出典：大阪大学 2023年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

底の変換で全ての対数を $t = lo g_{2} x$ に統一し、 $y = - t^{3} + 3 a t^{2}$ に落とす。範囲 $\frac{1}{2} ≦ x ≦ 8$ は $- 1 ≦ t ≦ 3$ である。あとは3次関数 $F (t) = t^{2} (3 a - t)$ の端点値と停留点値を比較するが、停留点 $t = 2 a$ が区間に入るかどうか、また $F (- 1), F (2 a), F (3)$ の大小が変わる $a = 1, \frac{3}{2}$ を明確に分ける。

解答

(1)

$t = lo g_{2} x$ とおく。底の変換公式より

lo g_{\frac{1}{2}} x = \frac{lo g _{2} x}{lo g _{2} \frac{1}{2}} = - t, lo g_{2} x = \frac{t}{\frac{1}{2}} = 2 t, lo g_{4} x^{3} = \frac{lo g _{2} x ^{3}}{lo g _{2} 4} = \frac{3 t}{2}

である。したがって $y = (- t)^{3} + a (2 t) (\frac{3}{2} t) = - t^{3} + 3 a t^{2}$ となる。

(2)

$\frac{1}{2} ≦ x ≦ 8$ であり、 $2^{t} = x$ は単調増加だから $- 1 ≦ t ≦ 3$ である。 $F (t) = - t^{3} + 3 a t^{2}$ とおくと、求める最大値は $- 1 ≦ t ≦ 3$ における $F (t)$ の最大値である。

微分すると $F^{'} (t) = - 3 t^{2} + 6 a t = 3 t (2 a - t)$ である。 $a > 0$ なので、 $t = 0$ と $t = 2 a$ が停留点である。ただし $F (0) = 0$ であり、端点値 $F (- 1) = 1 + 3 a > 0$ があるため、 $t = 0$ は最大値を与えない。比較すべき値は $F (- 1) = 1 + 3 a, F (3) = 27 (a - 1), F (2 a) = 4 a^{3}$ である。なお $F (2 a)$ は $0 < 2 a ≦ 3$ 、すなわち $0 < a ≦ \frac{3}{2}$ のときだけ候補になる。

まず $0 < a ≦ 1$ とする。このとき $F (3) = 27 (a - 1) ≦ 0$ であり、 $F (- 1) - F (2 a) = 1 + 3 a - 4 a^{3} = (1 - a) (4 a^{2} + 4 a + 1) ≧ 0$ である。よって $M = F (- 1) = 1 + 3 a$ である。

次に $1 ≦ a ≦ \frac{3}{2}$ とする。この範囲では $2 a$ が区間内にある。また $F (2 a) - F (- 1) = 4 a^{3} - 3 a - 1 = (a - 1) (4 a^{2} + 4 a + 1) ≧ 0$ であり、さらに $F (2 a) - F (3) = 4 a^{3} - 27 (a - 1) = (a + 3) (2 a - 3)^{2} ≧ 0$ である。したがって $M = F (2 a) = 4 a^{3}$ である。

最後に $a ≧ \frac{3}{2}$ とする。 $2 a ≧ 3$ なので、区間内では $t = 2 a$ を内部の最大候補として考える必要がない。端点を比較すると $F (3) - F (- 1) = 27 (a - 1) - (1 + 3 a) = 24 a - 28 > 0$ であるから、最大値は $t = 3$ でとられ、 $M = F (3) = 27 (a - 1)$ となる。

以上より

M = ⎩ ⎨ ⎧ 1 + 3 a 4 a^{3} 27 (a - 1) (0 < a ≦ 1), (1 ≦ a ≦ \frac{3}{2}), (a ≧ \frac{3}{2})

である。境界 $a = 1$ では前2式が一致し、 $a = \frac{3}{2}$ では後2式が一致するので、この表示で矛盾はない。

大阪大学 2023年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

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文系数学第2問