大阪大学 2023年度
文系数学 第1問

解答

$s=\sin \theta$ とおく。すると $-1\leqq s\leqq 1$ であり、$b=\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta =1-2s^2$ である。また、連立等式のもう一方から $as=b$ を得る。

ここで $s=0$ とすると、上の式から $b=1$ である一方、$as=0$ となる。これは $as=b$ に反する。したがって必ず $s\ne 0$ である。 $s\ne 0$ なので $a=\frac{b}{s}$ と書ける。また $b=1-2s^2$ より $s^2=\frac{1-b}{2}$ である。$s^2>0$ だから $b<1$ であり、さらに $0<s^2\leqq 1$ から $-1\leqq b<1$ である。$s$ を消去すると $a^2=\frac{b^2}{s^2}=\frac{2b^2}{1-b}$ を得る。よって、求める点 $(a,b)$ は少なくとも $-1\leqq b<1,a^2=\frac{2b^2}{1-b}$ をみたす。

逆に、$-1\leqq b<1$ かつ $a^2=\frac{2b^2}{1-b}$ をみたす点をとる。$b\ne 0$ のときは $a\ne 0$ であり、$s=\frac{b}{a}$ とおけば $s^2=\frac{b^2}{a^2}=\frac{1-b}{2}$ となる。$-1\leqq b<1$ より $0<s^2\leqq 1$ であるから、ある実数 $\theta$ を用いて $\sin \theta =s$ とできる。このとき $as=b$ かつ $1-2s^2=b$ が成り立つ。 $b=0$ のときは方程式から $a=0$ である。例えば $s=\frac{1}{\sqrt{2}}$ とすれば $1-2s^2=0$ かつ $as=0$ であるから、この場合も実現できる。

したがって存在範囲は $-1\leqq b<1,a^2=\frac{2b^2}{1-b}$ で表される曲線である。図示すると、$b$ 軸に関して対称で、$b=-1$ では $(1,-1),(-1,-1)$ を通り、$b=0$ では原点 $(0,0)$ を通る。また $b\to 1-0$ のとき $|a|\to \infty$ となるので、直線 $b=1$ は水平漸近線であり、$b=1$ 自体は含まれない。

別解。図の形を直接見るには、$s=\sin \theta$ を消去せず

と媒介変数表示してもよい。$s>0$ では $a=\frac{1}{s}-2s,b=1-2s^2$ であり、$s$ が $0$ から $1$ へ増えるにつれて $a$ は $+\infty$ から $-1$ へ単調に減少し、$b$ は $1$ から $-1$ へ減少する。$s<0$ の部分はこれを $b$ 軸に関して反転した枝である。これにより、上で得た曲線の図示と端点・漸近線が確認できる。