問題
整数に関する次の条件(＊)を考える．
(1) 整数が(＊)およびをみたすとき，をを用いて表せ．
(2) のとき，(＊)およびをみたす整数の組をすべて求めよ．
(3) 整数が(＊)およびをみたすとき，は3の倍数であることを示せ．
出典：大阪大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
まず両辺の積分を実行して差を取り、 で割ることで を得る。この因数分解形を中心に、 では とおいて約数対を調べる。(3)では、 と が3で割り切れる条件が同時に起こることを合同式で示し、右辺の との比較から を結論する。
解答
(1)
条件 (＊) の左辺から右辺を引くと
である。これを整理すると となる。条件 (＊) よりこの値は であり、 だから である。したがって である。ゆえに である。
(2)
(1)で得た式を因数分解すると である。 のとき となる。 とおくと であり、また連立方程式を解いて である。さらに だから、 は と同値である。 かつ より、 は負、 は正である。候補は である。このうち が整数になるには、 と がともに3で割り切れる必要がある。各候補を調べると、整数を与えるのは だけである。
それぞれ である。したがって求める組は である。
(3)
(1)の式から である。右辺は3で割り切れるから、左辺の少なくとも一方の因子は3で割り切れる。
ここで3を法として考えると である。したがって が3で割り切れることと、 が3で割り切れることは同値である。よって、左辺が3で割り切れるなら、実際には2つの因子がともに3で割り切れる。
したがって である。一方 だから となり、 を得る。整数 について なら であるから、 は3の倍数である。