大阪大学 2021年度
文系数学 第1問

解答

(1)

放物線 $C:y=x^2$ 上の点 $(t,t^2)$ における接線は $y-t^2=2t(x-t)$ すなわち $y=2tx-t^2$ である。この接線が点 $A(a,-1)$ を通る条件は $-1=2at-t^2$ であり、整理すると $t^2-2at-1=0$ となる。この二次方程式の判別式は $D=(-2a{)}^2-4\cdot 1\cdot (-1)=4a^2+4>0$ であるから、実数解 $t$ は相異なる2個である。接点の横座標が異なれば接点も接線も異なるので、点 $A$ を通る $C$ の接線はちょうど2本存在する。

(2)

2つの接点の横座標を $u,v$ とする。$u,v$ は $t^2-2at-1=0$ の2根であるから、解と係数の関係より $u+v=2a,uv=-1$ である。また $D>0$ より $u\ne v$ である。接点を $P(u,u^2),Q(v,v^2)$ と書くと、直線 $PQ$ の傾きは $\frac{u^2-v^2}{u-v}=u+v$ である。したがって直線 $PQ$ は $y-u^2=(u+v)(x-u)$ と表せる。右辺を整理すると $y=(u+v)x-u(u+v)+u^2=(u+v)x-uv$ である。ここに $u+v=2a,uv=-1$ を代入して $y=2ax+1$ を得る。

(3)

直線 $y=2ax+1$ を $2ax-y+1=0$ と書く。点 $A(a,-1)$ とこの直線の距離は

である。分子は正なので $L=\frac{2(a^2+1)}{\sqrt{4a^2+1}}$ である。 $u=a^2$ とおくと $u\geqq 0$ であり、$L>0$ だから $L$ の最小化は $L^2$ の最小化と同じである。 $L^2=\frac{4(u+1{)}^2}{4u+1}$ とおく。右辺を $f(u)$ とすれば

である。$u\geqq 0$ では $u+1>0$, $4u+1>0$ なので、$f^{\prime }(u)$ の符号は $2u-1$ の符号で決まる。したがって $f(u)$ は $0\leqq u\leqq \frac{1}{2}$ で減少し、$u\geqq \frac{1}{2}$ で増加するから、最小は $u=\frac{1}{2}$ のときである。このとき $L^2=\frac{4{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}{3}=3$ より $L=\sqrt{3}$ である。また $a^2=\frac{1}{2}$ だから $a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ である。

別解。最後の最小化は微分を使わずに確認できる。$u=a^2\geqq 0$ とすると $L^2-3=\frac{4(u+1{)}^2}{4u+1}-3=\frac{(2u-1{)}^2}{4u+1}\geqq 0$ である。等号は $2u-1=0$、すなわち $a^2=\frac{1}{2}$ のときに限る。よって同じく $L_{\min }=\sqrt{3},a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ を得る。