大阪大学 2019年度文系数学第2問解答・解説

問題

$p$ を実数の定数とする． $x$ の2次方程式

x^{2} - (2 p + ∣ p ∣ - ∣ p + 1∣ + 1) x + \frac{1}{2} (2 p + 3∣ p ∣ - ∣ p + 1∣ - 1) = 0

について以下の問いに答えよ．

(1) この2次方程式は実数解をもつことを示せ．

(2) この2次方程式が異なる2つの実数解 $α$ ， $β$ をもち，かつ $α^{2} + β^{2} ≦ 1$ となるような定数 $p$ の値の範囲を求めよ．

出典：大阪大学 2019年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

絶対値を外すため、 $p < - 1$ 、 $- 1 ≦ p < 0$ 、 $p ≧ 0$ の3区間に分ける。各区間で2次方程式を簡単な形に直し、判別式が0以上になることを確認すれば(1)が示せる。(2)では、解の和と積、または因数分解で根を把握し、 $α^{2} + β^{2} ≦ 1$ を各区間で解く。異なる2実根が必要なので、判別式が0になる境界、特に $p = - 1$ と $p = 1$ に注意して除外・確認する。

解答

(1)

絶対値を外すため、 $p$ の範囲で場合分けする。 $p < - 1$ のとき、 $∣ p ∣ = - p$ 、 $∣ p + 1∣ = - (p + 1)$ であるから、方程式は $x^{2} - (2 p + 2) x = 0$ となる。この判別式は $(2 p + 2)^{2} ≧ 0$ である。 $- 1 ≦ p < 0$ のとき、 $∣ p ∣ = - p$ 、 $∣ p + 1∣ = p + 1$ であるから、方程式は $x^{2} - p - 1 = 0$ となる。この判別式は $4 (p + 1) ≧ 0$ である。 $p ≧ 0$ のとき、 $∣ p ∣ = p$ 、 $∣ p + 1∣ = p + 1$ であるから、方程式は $x^{2} - 2 p x + 2 p - 1 = 0$ となる。この判別式は $(2 p)^{2} - 4 (2 p - 1) = 4 (p - 1)^{2} ≧ 0$ である。

以上より、どの実数 $p$ に対してもこの2次方程式は実数解をもつ。

(2)

上の3場合ごとに調べる。 $p < - 1$ のとき、方程式は $x {x - (2 p + 2)} = 0$ である。したがって2解は $0, 2 p + 2$ である。 $p < - 1$ なので2解は異なる。条件 $α^{2} + β^{2} ≦ 1$ は $(2 p + 2)^{2} ≦ 1$ であり、これは $- 1 ≦ 2 p + 2 ≦ 1$ と同値である。よって $- \frac{3}{2} ≦ p ≦ - \frac{1}{2}$ であり、 $p < - 1$ と合わせて $- \frac{3}{2} ≦ p < - 1$ である。 $- 1 ≦ p < 0$ のとき、方程式は $x^{2} = p + 1$ である。実数解は $\pm p + 1$ である。異なる2解をもつには $p + 1 > 0$ すなわち $p > - 1$ が必要である。また $α^{2} + β^{2} = 2 (p + 1)$ だから、条件は $2 (p + 1) ≦ 1$ すなわち $p ≦ - \frac{1}{2}$ である。したがって $- 1 < p ≦ - \frac{1}{2}$ である。 $p ≧ 0$ のとき、方程式は $x^{2} - 2 p x + 2 p - 1 = 0$ であり、これは $(x - 1) (x - (2 p - 1)) = 0$ と因数分解できる。したがって2解は $1, 2 p - 1$ である。条件 $α^{2} + β^{2} ≦ 1$ は $1 + (2 p - 1)^{2} ≦ 1$ であるから $2 p - 1 = 0$ となる。よって $p = \frac{1}{2}$ である。このとき2解は $1, 0$ であり、確かに異なる。

以上をまとめて、求める範囲は $- \frac{3}{2} ≦ p < - 1, - 1 < p ≦ - \frac{1}{2}, p = \frac{1}{2}$ である。

大阪大学 2019年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2019年度
文系数学第2問