問題
平面において，連立不等式
の表す領域をDとする．このとき以下の問いに答えよ．
(1) Dを図示せよ．
(2) 点が領域Dを動くとき，の最大値と最小値を求めよ．
出典：大阪大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
まず とおき、三角関数を合成して とする。 から なので、 をこの範囲で解けば、領域は正方形内の帯 になる。図示では、この2本の直線と正方形の交点を明示する。(2)は と見て、下側境界で最小、上側境界で最大を調べる。線形関数なので、候補は帯状領域の頂点に限られる。
解答
(1)
とおく。、 より である。また だから、与えられた不等式は すなわち である。
ここで である。この範囲で となるのは である。したがって となり、領域 は
で表される。
したがって図示すべき領域は、正方形 のうち、2直線 に挟まれる部分である。頂点を順に書けば
を結ぶ六角形である。
(2)
である。領域 では なので、最小値は下側境界 上で、さらに が最小のときに生じる。この境界上で正方形内にある点のうち の最小値は であり、その点は である。したがって最小値は である。
同様に最大値は上側境界 上で、さらに が最大のときに生じる。この境界上で正方形内にある点のうち の最大値は であり、その点は である。したがって最大値は である。
別解。六角形の頂点で を調べてもよい。線形関数は凸多角形上で頂点に最大値・最小値をもつので、上に挙げた6頂点を代入すれば、最小は 、最大は と分かる。