大阪大学 2015年度
文系数学 第3問

解答

(1)

座標を $A=(0,0),B=(2,0)$ とおく。円 $C$ は線分 $AB$ を直径とするから、中心 $(1,0)$、半径 $1$ の円であり、方程式は $(x-1{)}^2+y^2=1$ すなわち $x^2+y^2=2x$ である。

図形は $x$ 軸に関して対称なので、まず $P$ が上半円上にあるとしてよい。$\theta =\angle PAB$ とする。直径に対する円周角より $\angle APB=90^{\circ }$ であるから、直角三角形 $APB$ において $AP=AB\cos \theta =2\cos \theta$ である。したがって

である。また $Q$ は線分 $AB$ 上で $AQ=AP$ を満たすので $Q=(2\cos \theta ,0)$ である。

以下、$c=\cos \theta ,s=\sin \theta$ と書く。直線 $PQ$ の傾きは $\frac{2sc-0}{2c^2-2c}=\frac{s}{c-1}=-\frac{s}{1-c}$ である。したがって $PQ$ 上の点は $y=-\frac{s}{1-c}(x-2c)$ を満たす。

円とのもう一つの交点を $R=(1+c,-s)$ と予想して確認する。まず $(1+c{)}^2+(-s{)}^2=1+2c+c^2+s^2=2+2c=2(1+c)$ であるから、$R$ は円 $C$ 上にある。また $\frac{-s-0}{(1+c)-2c}=-\frac{s}{1-c}$ であるから、$R$ は直線 $PQ$ 上にもある。$R\ne P$ なので、これが $P$ でない方の交点である。 $Q$ は $x$ 軸上、$R$ の $y$ 座標は $-s$ であるから、$△AQR$ の面積 $S$ は $S=\frac{1}{2}\cdot AQ\cdot |\text{高さ}|=\frac{1}{2}\cdot 2c\cdot s=sc$ である。したがって $\boxed{S=\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{2}\sin 2\theta }$ である。$P$ が下半円上にある場合も、$y$ 座標の符号が反対になるだけで面積は同じである。

(2)

$0<\theta <\pi /2$ なので、$2\theta$ は $0<2\theta <\pi$ を動く。よって $\frac{1}{2}\sin 2\theta$ が最大となるのは $2\theta =\frac{\pi }{2},\theta =\frac{\pi }{4}$ のときである。

このとき $\cos \theta =\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$ であるから、上半円側では

である。ここで $\overrightarrow{AR}=\lambda \overrightarrow{AB}+\mu \overrightarrow{AP}$ とおくと、成分比較より $(2\lambda +\mu ,\mu )=\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ である。したがって

より $\lambda =\frac{1+\sqrt{2}}{2}$ である。ゆえに

である。$P$ が下半円側にある場合も、$\overrightarrow{AP}$ の $y$ 成分と $\overrightarrow{AR}$ の $y$ 成分が同時に反転するため、同じベクトル表示が成り立つ。

別解。$R$ の座標は方べきからも求められる。点 $Q$ は円の内部にあり、直線 $AB$ と円の交点は $A,B$、直線 $PQR$ と円の交点は $P,R$ である。したがって $QA\cdot QB=QP\cdot QR$ である。ここで $QA=2c,QB=2-2c=2(1-c)$ であり、$QP=\sqrt{(2c^2-2c{)}^2+(2sc{)}^2}=2c\sqrt{2(1-c)}$ である。よって

である。

また $\overrightarrow{QP}=2c(c-1,s)$ であり、$R$ は $Q$ から見て $P$ と反対側にある。したがって

である。ゆえに $R=Q+\overrightarrow{QR}=(2c,0)+(1-c,-s)=(1+c,-s)$ となり、座標計算と同じ結果を得る。