問題
直線 が円と放物線の両方に接している．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) とを求めよ．
(2) 直線と放物線および軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
出典：大阪大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
放物線への接線条件は、直線との共有点が重解になることから判別式 で表す。円への接線条件は、中心 から直線までの距離が半径 に等しいことで表す。これで を決定したあと、接点の 座標から、直線と放物線の上下差を から まで積分する。別解として、放物線の接線式を微分から直接出す方法も確認する。
解答
(1)
直線 が放物線 に接する条件を求める。交点の 座標は すなわち の解である。接するためにはこの2次方程式が重解をもてばよいので、判別式を として を得る。したがって である。
次に円 について考える。円 の中心は 、半径は である。直線を と書くと、中心 からこの直線までの距離は である。接線であるから、この距離が半径 に等しく、 が成り立つ。
ここに を代入して両辺を2乗すると である。 とおくと すなわち である。よって となる。 より なので である。したがって である。
(2)
(1)より直線は である。放物線との接点の 座標は、上で得た2次方程式 の重解であるから である。
直線、放物線、 軸で囲まれる部分は、 において上側が直線、下側が放物線である。よって面積 は
である。ここで
だから、 である。
別解。放物線への接線条件は微分から出してもよい。放物線 の における接線の傾きは であり、接点は である。したがって接線は である。これを と比べると となり、判別式を使った場合と同じ条件を得る。以後は円への距離条件から同様に と決まる。