問題
平面上で考える．不等式の表す領域をとし，不等式の表す領域をとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) 領域と領域をそれぞれ図示せよ．
(2) を領域に属する点とする．点を通り傾きがの直線と放物線で囲まれた部分の面積をとする．を，を用いて表せ．
(3) 点が領域を動くとき，の最大値を求めよ．
方針
(1) では を放物線 の下側、 を中心 、対角線が座標軸方向のひし形として読み替える。(2) では、点 を通り傾き の直線が、放物線の における接線と平行であることを使い、放物線との差を の形に平方完成する。(3) では が の増加関数であることから、 上で を最小にする問題へ落とし、ひし形の下側境界を2区間に分けて調べる。
解答
(1)
は で表されるので、放物線 の下側の領域である。境界の放物線そのものは、 であるため には含まれない。
一方、 は である。これは点 から、横方向と縦方向のずれの和が1以下である点全体だから、頂点 をもつひし形の内部および周である。
(2)
点 を通り傾きが の直線は すなわち である。放物線 とこの直線の縦方向の差をとると である。
ここで とおく。 が に属することは すなわち を意味する。したがって2つの曲線の交点は より
で与えられる。
よって囲まれた部分の面積は である。 とおくと
であり、
となる。したがって である。
(3)
(2)より、 は が大きいほど大きくなる。したがって が を動くときの の最大値を求めるには、 上で の最小値を求めればよい。
に属する点では であるから、まず である。また、 を固定したとき、 の最小値は である。
のときは だから が下側境界であり、 となる。よってこの区間での最小値は、 のとき である。
のときは だから が下側境界であり、 となる。この式は で増加するので、最小値は のとき である。
したがって 上での の最小値は であり、このとき となる。よって
である。
実際に は に属するので、この値は達成される。したがって最大値は である。