問題
1個のさいころを3回続けて投げるとき，1回目に出る目を，2回目に出る目を，3回目に出る目をで表し，3次式
を考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) がで割り切れる確率を求めよ．
(2) 関数が極大値も極小値もとる確率を求めよ．
方針
(1) は「 で割り切れる」を、 が重解である条件 に直す。2本の一次条件から を で表し、さいころの目の範囲 を最後に確認する。(2) は3次関数が極大値と極小値の両方をもつ条件を、導関数 が異なる2つの実数解をもつ条件に置き換える。判別式から を得たあと、 ごとに許される を数え、 が自由に選べることを忘れずに掛け合わせる。
解答
(1)
が で割り切れることは、 が の重解であることと同値である。したがって を同時にみたせばよい。
ここで であるから、条件は すなわち である。これを第1式に代入すると より を得る。
よって であり、 がいずれもさいころの目であるためには が必要である。これより だけが可能で、実際に の2通りを得る。
全事象は 通りで等確率だから、求める確率は である。
(2)
3次関数 が極大値と極小値の両方をとるためには、導関数 が異なる2つの実数解をもてばよい。 は上に開く2次式なので、2つの異なる実数解をもつとき、符号は と変化し、 は一方で極大値、他方で極小値をとる。逆に極大値と極小値の両方をとれば、 は異なる2点で成り立つ。
したがって判別式が正であることが必要十分で、 すなわち である。
のそれぞれについて、 かつ をみたす の個数を数えると である。具体的には、 では 、 では 、 では 、 では がすべて可能である。
したがって は合計 通りである。この条件には が現れないので、 は6通りに自由に選べる。よって有利な場合は 通りであり、求める確率は である。