大阪大学 2011年度
文系数学 第3問

解答

(1)

${\vec{v}}_1=(3,0),{\vec{v}}_2=(1,2\sqrt{2})$ であるから、実数 $s,t$ に対して $s{\vec{v}}_1+t{\vec{v}}_2=(3s+t,2\sqrt{2}t)$ である。これが任意の $\vec{v}=(x,y)$ に等しくなるためには $2\sqrt{2}t=y$ より $t=\frac{y}{2\sqrt{2}}$ であり、さらに $3s+t=x$ より $s=\frac{x-t}{3}=\frac{x}{3}-\frac{y}{6\sqrt{2}}$ である。

したがって任意の $\vec{v}=(x,y)$ は

と表される。

(2)

条件（＊）の左辺を

とおく。内積は $\vec{p}$ について一次的であるから、$F(\vec{p})$ も $\vec{p}$ について一次的である。すなわち任意の実数 $s,t$ に対して $F(s{\vec{v}}_1+t{\vec{v}}_2)=sF({\vec{v}}_1)+tF({\vec{v}}_2)$ である。

仮定より $\vec{p}={\vec{v}}_1$ と $\vec{p}={\vec{v}}_2$ は条件（＊）を満たすので $F({\vec{v}}_1)=c{\vec{v}}_1,F({\vec{v}}_2)=c{\vec{v}}_2$ である。したがって $F(s{\vec{v}}_1+t{\vec{v}}_2)=sc{\vec{v}}_1+tc{\vec{v}}_2=c(s{\vec{v}}_1+t{\vec{v}}_2)$ である。(1)より任意の座標平面上のベクトルは $s{\vec{v}}_1+t{\vec{v}}_2$ と表されるので、すべての $\vec{p}$ が条件（＊）を満たす。

(3)

${\vec{v}}_3=a{\vec{v}}_1+b{\vec{v}}_2$ より ${\vec{v}}_3=(3a+b,2\sqrt{2}b)$ である。ここで $u=3a+b$ とおくと ${\vec{v}}_3=(u,2\sqrt{2}b)$ である。

任意の $\vec{p}=(X,Y)$ に対して左辺を成分で計算する。まず $({\vec{v}}_1\cdot \vec{p}){\vec{v}}_1=3X(3,0)=(9X,0)$ であり、

である。また $({\vec{v}}_3\cdot \vec{p}){\vec{v}}_3=(uX+2\sqrt{2}bY)(u,2\sqrt{2}b)$ だから、これは $(u^{2}X+2\sqrt{2}buY,2\sqrt{2}buX+8b^{2}Y)$ である。

したがって左辺全体は $\left((10+u^2)X+2\sqrt{2}(1+bu)Y,2\sqrt{2}(1+bu)X+(8+8b^2)Y\right)$ である。これがすべての $(X,Y)$ について $c(X,Y)$ に等しいためには、$X,Y$ の係数を比較して $1+bu=0$ かつ $10+u^2=c,8+8b^2=c$ であることが必要十分である。よって $bu=-1,u^2-8b^2=-2$ である。 $bu=-1$ より $b\ne 0$ で、$u=-1/b$ である。これを $u^2-8b^2=-2$ に代入すると $\frac{1}{b^2}-8b^2=-2$ である。$B=b^2$ とおくと $1-8B^2=-2B$ すなわち $8B^2-2B-1=0$ である。因数分解して $(2B-1)(4B+1)=0$ となる。$B=b^2>0$ だから $b^2=\frac{1}{2}$ である。 $b=1/\sqrt{2}$ のとき、$u=-\sqrt{2}$ である。$u=3a+b$ なので $3a=-\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{3}{\sqrt{2}}$ より $a=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ である。 $b=-1/\sqrt{2}$ のとき、$u=\sqrt{2}$ である。したがって $3a=\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$ より $a=\frac{1}{\sqrt{2}}$ である。どちらの場合も $c=8+8b^2=8+4=12$ である。

以上より

である。