大阪大学 2011年度文系数学第1問解答・解説

問題

実数の組 $(x, y, z)$ で，どのような整数 $l$ ， $m$ ， $n$ に対しても，等式

l \cdot 10^{x - y} - n x + l \cdot 10^{y - z} + m \cdot 10^{x - z} = 13 l + 36 m + n y

が成り立つようなものをすべて求めよ．

出典：大阪大学 2011年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

任意の整数 $l, m, n$ に対して等式が成り立つので、これは $l, m, n$ に関する恒等式として扱う。まず $m$ の係数から $1 0^{x - z} = 36$ 、 $n$ の係数から $y = - x$ を得る。残る $l$ の係数にこの2条件を代入し、 $X = 1 0^{2 x}$ とおけば $X + 36/ X = 13$ という2次方程式に帰着する。最後に $X > 0$ と $z = x - lo g_{10} 36$ を使って $(x, y, z)$ を戻す。

解答

与えられた等式を $l \cdot 1 0^{x - y} - n x + l \cdot 1 0^{y - z} + m \cdot 1 0^{x - z} = 13 l + 36 m + n y$ と見る。これはどのような整数 $l, m, n$ に対しても成り立つので、 $l, m, n$ の係数をそれぞれ比較できる。

まず $m$ の係数を比較すると $1 0^{x - z} = 36$ である。次に $n$ の係数を比較すると、左辺の $n$ の係数は $- x$ 、右辺の $n$ の係数は $y$ であるから $- x = y$ である。さらに $l$ の係数から $1 0^{x - y} + 1 0^{y - z} = 13$ を得る。

ここで $y = - x$ より $1 0^{x - y} = 1 0^{2 x}$ である。また $1 0^{x - z} = 36$ と $y = - x$ を用いると $y - z = - x - z = (x - z) - 2 x$ であるから $1 0^{y - z} = 1 0^{x - z} 1 0^{- 2 x} = \frac{36}{1 0 ^{2 x}}$ となる。

そこで $X = 1 0^{2 x}$ とおく。 $X > 0$ であり、 $l$ の係数の条件は $X + \frac{36}{X} = 13$ となる。両辺に $X$ をかけて $X^{2} - 13 X + 36 = 0$ である。因数分解すると $(X - 4) (X - 9) = 0$ だから $X = 4, 9$ である。 $X = 4$ のとき、 $1 0^{2 x} = 4$ より $x = lo g_{10} 2, y = - lo g_{10} 2$ である。また $1 0^{x - z} = 36$ より $z = x - lo g_{10} 36 = lo g_{10} 2 - lo g_{10} 36 = lo g_{10} \frac{1}{18}$ である。 $X = 9$ のとき、同様に $x = lo g_{10} 3, y = - lo g_{10} 3$ であり、 $z = x - lo g_{10} 36 = lo g_{10} 3 - lo g_{10} 36 = lo g_{10} \frac{1}{12}$ である。

以上より求める組は

(lo g_{10} 2, - lo g_{10} 2, lo g_{10} \frac{1}{18}), (lo g_{10} 3, - lo g_{10} 3, lo g_{10} \frac{1}{12})

である。

大阪大学 2011年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

大阪大学 2011年度
文系数学第1問