大阪大学 2008年度文系数学第3問解答・解説

問題

$a$ を正の定数とし， $f (x) = ∣∣ x - 3 a ∣ - a ∣$ ， $g (x) = - x^{2} + 6 a x - 5 a^{2} + a$ を考える．

(1) 方程式 $f (x) = a$ の解を求めよ．

(2) $y = f (x)$ のグラフと $y = g (x)$ のグラフで囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ．

出典：大阪大学 2008年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

中心をそろえるため $u = x - 3 a$ と置くと， $f (x) = ∣∣ u ∣ - a ∣$ ， $g (x) = a + 4 a^{2} - u^{2}$ となり，どちらも $u = 0$ に関して左右対称になる。(1)は $∣∣ u ∣ - a ∣ = a$ から $∣ u ∣ = 0, 2 a$ を得る。(2)では交点が $∣ u ∣ = 2 a$ であることを確認し， $u ≧ 0$ 側の面積を $[0, a]$ と $[a, 2 a]$ に分けて積分し，最後に2倍する。

解答

(1)

$∣∣ x - 3 a ∣ - a ∣ = a$ を解く。絶対値の外側を外すと $∣ x - 3 a ∣ - a = \pm a$ である。したがって $∣ x - 3 a ∣ = 0 または ∣ x - 3 a ∣ = 2 a$ である。 $a > 0$ より，解は $x = 3 a, x = 3 a \pm 2 a$ すなわち $x = a, 3 a, 5 a$ である。

(2)

$u = x - 3 a$ とおく。このとき $f (x) = ∣∣ u ∣ - a ∣$ であり，また

g (x) = - (u + 3 a)^{2} + 6 a (u + 3 a) - 5 a^{2} + a = - u^{2} + 4 a^{2} + a .

どちらも $u$ の偶関数なので，囲まれる部分は $u = 0$ に関して左右対称である。

まず交点を求める。 $u ≧ 0$ で考える。 $0 ≦ u ≦ a$ では $f = a - u$ であり，交点条件は $a - u = a + 4 a^{2} - u^{2}$ すなわち $u^{2} - u - 4 a^{2} = 0$ である。この正の解は $a$ より大きいので，この区間には交点を持たない。 $u ≧ a$ では $f = u - a$ であり，交点条件は $u - a = a + 4 a^{2} - u^{2}$ すなわち $u^{2} + u - 2 a - 4 a^{2} = 0$ である。これは $(u - 2 a) (u + 2 a + 1) = 0$ となるので， $u ≧ 0$ の交点は $u = 2 a$ である。対称性により，交点は $u = \pm 2 a$ である。 $- 2 a ≦ u ≦ 2 a$ では $g ≧ f$ であるから，求める面積 $S$ は $S = 2 {\int_{0}^{a} (g - f) d u + \int_{a}^{2 a} (g - f) d u}$ である。 $0 ≦ u ≦ a$ では $f = a - u$ なので $g - f = (a + 4 a^{2} - u^{2}) - (a - u) = 4 a^{2} - u^{2} + u .$ また $a ≦ u ≦ 2 a$ では $f = u - a$ なので $g - f = (a + 4 a^{2} - u^{2}) - (u - a) = 2 a + 4 a^{2} - u^{2} - u .$ したがって

S = 2 {\int_{0}^{a} (4 a^{2} - u^{2} + u) d u + \int_{a}^{2 a} (2 a + 4 a^{2} - u^{2} - u) d u} = 2 {[4 a^{2} u - \frac{u ^{3}}{3} + \frac{u ^{2}}{2}]_{0}^{a} + [(2 a + 4 a^{2}) u - \frac{u ^{3}}{3} - \frac{u ^{2}}{2}]_{a}^{2 a}} = \frac{2 a ^{2} ( 16 a + 3 )}{3} .

大阪大学 2008年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2008年度
文系数学第3問