大阪大学 2008年度文系数学第2問解答・解説

問題

実数 $a$ ， $b$ を係数に含む3次式 $P (x) = x^{3} + 3 a x^{2} + 3 a x + b$ を考える． $P (x)$ の複素数の範囲における因数分解を $P (x) = (x - α) (x - β) (x - γ)$ とする． $α$ ， $β$ ， $γ$ の間に $α + γ = 2 β$ という関係があるとき，以下の問いに答えよ．

(1) $b$ を $a$ の式で表せ．

(2) $α$ ， $β$ ， $γ$ がすべて実数であるとする．このとき $a$ のとりうる値の範囲を求めよ．

(3) (1)で求めた $a$ の式を $f (a)$ とする． $a$ が(2)の範囲を動くとき，関数 $b = f (a)$ のグラフをかけ．

出典：大阪大学 2008年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

$α + γ = 2 β$ は3つの根が $β$ を中央とする等差数列になることを表す。そこで $α = β - d, γ = β + d$ と置き，解と係数の関係から $β$ ， $d^{2}$ ， $b$ を順に決める。根がすべて実数である条件は，中央の根 $β = - a$ が実数であることに加え，差 $d$ が実数に取れること，すなわち $d^{2} ≧ 0$ に帰着する。最後は $b = f (a) = - 2 a^{3} + 3 a^{2}$ を，許された範囲 $a ≦ 0$ または $a ≧ 1$ 上で増減を調べて描く。

解答

(1)

$α + γ = 2 β$ より，3つの根は $β$ を中央とする等差数列である。したがって，ある複素数 $d$ を用いて $α = β - d, γ = β + d$ と書ける。

解と係数の関係を用いる。 $P (x) = x^{3} + 3 a x^{2} + 3 a x + b$ であるから， $α + β + γ = - 3 a,$ $α β + β γ + γ α = 3 a,$ $α β γ = - b$ である。まず $α + β + γ = (β - d) + β + (β + d) = 3 β$ なので $3 β = - 3 a, β = - a$ である。

次に

α β + β γ + γ α = (β - d) β + β (β + d) + (β + d) (β - d) = 3 β^{2} - d^{2}

である。これが $3 a$ に等しいから， $β = - a$ を代入して $3 a^{2} - d^{2} = 3 a$ すなわち $d^{2} = 3 a^{2} - 3 a = 3 a (a - 1)$ である。

また

α β γ = (β - d) β (β + d) = β (β^{2} - d^{2}) = (- a) {a^{2} - (3 a^{2} - 3 a)} = (- a) (- 2 a^{2} + 3 a) = 2 a^{3} - 3 a^{2} .

したがって $- b = 2 a^{3} - 3 a^{2}$ であり， $b = - 2 a^{3} + 3 a^{2}$ である。

(2)

$a$ は実数であるから，中央の根 $β = - a$ は実数である。残りの2根 $β - d, β + d$ がともに実数であるためには， $d$ が実数に取れることが必要十分である。よって $d^{2} = 3 a (a - 1) ≧ 0$ が条件である。したがって $a ≦ 0 または a ≧ 1$ である。

(3)

(1)で求めた関数は $f (a) = - 2 a^{3} + 3 a^{2} = a^{2} (3 - 2 a)$ であり，定義域は(2)より $a ≦ 0 または a ≧ 1$ である。

増減を調べると $f^{'} (a) = - 6 a^{2} + 6 a = 6 a (1 - a)$ である。 $a < 0$ では $f^{'} (a) < 0$ なので， $a ≦ 0$ の枝は右へ進むにつれて減少し， $lim_{a \to - \infty} f (a) = + \infty, f (0) = 0$ である。

また $a > 1$ でも $f^{'} (a) < 0$ なので， $a ≧ 1$ の枝も右へ進むにつれて減少し， $f (1) = 1, lim_{a \to \infty} f (a) = - \infty$ である。したがってグラフは，点 $(0, 0)$ を含んで左上から下がってくる枝と，点 $(1, 1)$ を含んで右下へ下がる枝の2つからなる。 $0 < a < 1$ の部分は定義域に含まれない。

別解。 $y = x + a$ とおき， $x = y - a$ と平行移動して考える。すると

P (y - a) = y^{3} + 3 a (1 - a) y + 2 a^{3} - 3 a^{2} + b .

根が $β = - a$ を中央とする等差数列であることは， $y$ で見た根が $- d, 0, d$ になることと同じである。したがって $P (y - a)$ は $y$ で割り切れ，定数項が0でなければならない。よって $2 a^{3} - 3 a^{2} + b = 0$ から $b = - 2 a^{3} + 3 a^{2}$ を得る。このとき $P (y - a) = y {y^{2} + 3 a (1 - a)}$ であるから，3根がすべて実数である条件は $- 3 a (1 - a) = 3 a (a - 1) ≧ 0$ となり，(2)と同じ範囲を得る。

大阪大学 2008年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2008年度
文系数学第2問